当x∈(0,π)时,函数f(x)=(1+cos2x+3sin²x)/sinx的最小值为?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 13:35:52

当x∈(0,π)时,函数f(x)=(1+cos2x+3sin²x)/sinx的最小值为?
当x∈(0,π)时,函数f(x)=(1+cos2x+3sin²x)/sinx的最小值为?

当x∈(0,π)时,函数f(x)=(1+cos2x+3sin²x)/sinx的最小值为?
cos2x=2(cosx)^2-1
cos2x +1 = 2(cosx)^2
f(x)=(2(cosx)^2+3(sinx)^2)/sinx=
=2/sinx +sinx
因为sinx>0,由均值不等式得
f(x)=2/sinx +sinx >= 2 sqrt(2/sinx * sinx)=sqrt(2)
取等当且仅当 2/sinx =sinx,即sinx =sqrt(2)
可是sinx ∈(0,1),故当sinx =1,即最靠近sqrt(2)时
f(x)取最小值f(π/2)=3

全部展开

f(x)=(1+cos2x+3sin²x)/sinx=(1+1-2sin²x+3sin²x)/sinx=（2+sin²x）/sinx=2/sinx+sinx≥2√2
当且仅当2/sinx=sinx，即sinx=±√2时成立，显然不成立。。
而根据这函数形式，我们可知这是双钩函数，定义域在[-1,0）∪（0，1]，而此双钩函数在[2√2，0）和（0，2√2]上单调递减，在（－∞，－2√2]和[2√2，＋∞）上单调递增，所以最小值为自变量取1时，f(1)=3。

收起

已知函数y=f(x)满足f(x)=-f(x+2),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则f(2009)= f(x)满足f(x+1/2)=f(x-1/2),且当x∈【0,1)时,f(x)=cosπx则函数y=f(x)-1/10x的零点的个数已知函数f(x)当x,y∈R时恒有f(x+y)=f(x)+f(y)当x>0时,f（x）函数f(x)为奇函数,当x>0时f(x)=(√x)+1,则当x 已知函数f(x)=log a |x+1| ,当x∈(0,1)时,恒有f(x) 设函数f(x)=ax2+4(a+1)x-3,当x∈[0,2]时,f(x) 已知函数f(x)＝sin x＋cos x,f′(x)是f(x)的导函数．(1)求f′(x)及函数y＝f′(x)的最小正周期；(2)当x∈[0,π/2]时,求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f^2(x)的值域．设函数f(x)=cos(2x+π/3)+sin^2x-1/2,当x∈[0,π]时,f(x)的值域为函数f(x)对于任意x∈R均满足关系式f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)>1,求证：f(x)是R上的增函数. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+5)=16,当x∈(-1,4]时,f(x)=x^2-2^x,则函数f(x)在【0,2013】上零点个数若函数f(x)是r上的奇函数,当x∈(0,+∞)时,F(x)=x(1+3次方根号下x),求F(X) 已知函数f(x)=ln(1+x)/x,当x>-1且x=0时,不等式f(x) 设函数f(x)=In(1+x)-2x/(x+2),证明：当x>0时,f(x)>0 已知函数f(x)=ln(1+x)/x(1)当X>0时,证明f(x)>2/(X+2) 函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x^3+lg(x+1),x 证明:当x∈(0,+∞)时,函数f(x)=3/x是减函数设函数f(x)满足f(-x)=f(x),当x>=0时,f(x)=(1/4)^x,若函数g(x)=1/2*|sinπx|,则函数h(x)=f(x)-g(x)在则函数h(x)=f(x)-g(x)在【-1/2,2】上的零点个数为几个当x∈(0,π)时,函数f(x)=(1+cos2x+3sin²x)/sinx的最小值为?