作业帮直线L：y=mx+1与椭圆C：aX^2+y^2=2交与AB两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）（1）当a=2时,求点P的轨迹方程(2)记平行四边形OAPB的面积为S（a）,若a,m满足a+2m^2=1,求证：2＜S（a）＜4
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 12:17:19
直线L：y=mx+1与椭圆C：aX^2+y^2=2交与AB两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）（1）当a=2时,求点P的轨迹方程(2)记平行四边形OAPB的面积为S（a）,若a,m满足a+2m^2=1,求证：2＜S（a）＜4
直线L：y=mx+1与椭圆C：aX^2+y^2=2交与AB两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）
（1）当a=2时,求点P的轨迹方程
(2)记平行四边形OAPB的面积为S（a）,若a,m满足a+2m^2=1,求证：2＜S（a）＜4
直线L：y=mx+1与椭圆C：aX^2+y^2=2交与AB两点,以OA,OB为邻边作平行四边形OAPB（O为坐标原点）（1）当a=2时,求点P的轨迹方程(2)记平行四边形OAPB的面积为S（a）,若a,m满足a+2m^2=1,求证：2＜S（a）＜4
设OAPB的对角线相交于J点,设P(x,y),A(x1,y1), B(x2,y2).因为平行四边形的对角线互相平分,所以J既是OP的中点也是AB的中点.P=A+B-O=A+B,x=x1+x2, y=y1+y2.联立L与C的方程,消去y有(a+m^2)x^2 + 2mx - 1 = 0 于是x = x1+x2 = -2m/(a+m^2), y = mx+2 = 2a/(a+m^2)
(1)当a=2时,x=-2m/(2+m^2), y=4/(2+m^2).于是m = 2x/y,4=y(2+m^2)=2y+4x^2/y,即
2x^2+y^2=2y 这就是m变动时（如果m不变,则点P没有所谓的轨迹）,点P的轨迹方程.
(2) AB=sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 ) = sqrt(1+m^2) * sqrt( (x1+x2)^2 - 4 x1 x2 ) = 2 sqrt( (a+2m^2)*(1+m^2) ) / (a+m^2)
又O到AB的距离为1/sqrt(1+m^2) （可以借助L于坐标轴的两个交点来计算）,所以若a,m满足a+2m^2=1,则∵a>0,∴m^2∈[0,1/2), 1-m^2∈(1/2,1], S(a)=AB*1/sqrt(1+m^2)=2/(a+m^2)=2/(1-m^2)∈[2,4) 跟题目要求证的结论稍有不同.
说明：题目的结论有误,因为m=0时,y=1为水平直线,A与B纵坐标也为1,所以AOB三点不共线,与P可以组成平行四边形,符合条件,此时a=1,S(a) = 2