作业帮一道高二数学余弦定理题.在三角形ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,证明：（a²－b²）÷（c²）＝sin(A-B)÷sinC
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 07:35:32
一道高二数学余弦定理题.在三角形ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,证明：（a²－b²）÷（c²）＝sin(A-B)÷sinC
一道高二数学余弦定理题.
在三角形ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,
证明：（a²－b²）÷（c²）＝sin(A-B)÷sinC
一道高二数学余弦定理题.在三角形ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,证明：（a²－b²）÷（c²）＝sin(A-B)÷sinC
证明：
右边=sin(A-B)÷sinC
=(sinAcosB-cosAsinB)÷sinC
=(acosB-bcosA)÷c
=[a(a^2+c^2-b^2)/(2ac)-b(b^2+c^2-a^2)/(2bc)]÷c
=(a^2+c^2-b^2-b^2-c^2+a^2)/(2c^2)
=（a²－b²）÷（c²）
=左边
证毕
分析法
由正弦定理，原式等价于
sin^2A-sin^2B=sinCsin(A-B)
(sinA+sinB)(sinA-sinB)=sin(A+B)sin(A-B)
4sin(A+B)/2*cos(A-B)/2*sin(A-B)/2*cos(A+B)/2=4sin(A+B)/2*cos(A+B)/2*sin(A-B)/2*cos(A-B)/2
两边一样，原式得证
(a^2-b^2)/c^2=(a+b/c)(a-b/c)
根据正弦定理：
(a+b/c)(a-b/c)
=(sinA+sinB/sinC)(sinA-sinB/sinC)
分别处理，用和化为积公式：
sinA+sinB/sinC
=2sin(A+B/2)cos(A-B/2)/sin(A+B)
=2sin(A+B/2)cos(A-B/2)/2s...
全部展开
(a^2-b^2)/c^2=(a+b/c)(a-b/c)
根据正弦定理：
(a+b/c)(a-b/c)
=(sinA+sinB/sinC)(sinA-sinB/sinC)
分别处理，用和化为积公式：
sinA+sinB/sinC
=2sin(A+B/2)cos(A-B/2)/sin(A+B)
=2sin(A+B/2)cos(A-B/2)/2sin(A+B/2)cos(A+B/2)
=cos(A-B/2)/cos(A+B/2)
同理：
a-b/c=sin(A-B/2)/sin(A+B/2)
(这个公式叫模尔外得公式)
所以：
原式
=sin(A-B/2)cos(A-B/2)/sin(A+B/2)cos(A+B/2)
=sin(A-B)/sin(A+B)
=sin(A-B)/sinC
希望我的回答对你有帮助，采纳吧O(∩_∩)O！
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