用数学归纳法证明x^2n-y^2n能被x+y整除

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 13:42:31

用数学归纳法证明x^2n-y^2n能被x+y整除
用数学归纳法证明x^2n-y^2n能被x+y整除

用数学归纳法证明x^2n-y^2n能被x+y整除
证明:
当n=1时,
x^2n-y^2n=x²-y²=(x+y)(x-y)
结论成立
现假设当n=k时,结论成立,即x^2k-y^2k能被x+y整除.无妨设x^2k-y^2k=M(x+y).
于是
x^2(k+1)-y^2(k+1)
=x^(2k+2)-y^(2k+2)
=x²x^2k-y²y^2k
=x²x^2k-x²y^2k+x²y^2k-y²y^2k
=x²(x^2k-y^2k)+(x²-y²)y^2k
=x²M(x+y)+(x+y)(x-y)y^2k
=(x+y)[x²M+(x-y)y^2k]
这就证明了x^2(k+1)-y^2(k+1)能被(x+y)整除.
据归纳法原理,原命题得证.

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