作业帮用数学归纳法证明n^5-n 能被5整除,一定要用数学归纳法我会证明,但不知道用数学归纳法怎么证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 11:56:49
用数学归纳法证明n^5-n 能被5整除,一定要用数学归纳法我会证明,但不知道用数学归纳法怎么证明
用数学归纳法证明n^5-n 能被5整除,一定要用数学归纳法
我会证明,但不知道用数学归纳法怎么证明
用数学归纳法证明n^5-n 能被5整除,一定要用数学归纳法我会证明,但不知道用数学归纳法怎么证明
1）当n=1时,n^5-n=0能被5整除,命题成立.
2）设当n=k(k>=1,k为正整数）时,命题成立,
即 k^5-k能被5整除,则
(k+1)^5-(k+1)
=k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1-k-1
=(k^5-k)+5(k^4+2k^3+2k^2+k)
显然能被5整除,
就是说,如果当n=k时命题成立,则n=k+1时命题也成立.
由1）2）可知,命题对所有正整数n都成立.
前提条件：n是正整数，否则无法证明！
因为将n^5-n分解因式为：
n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n^2+1)(n^2-1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
因为（n-1）、n、（n+1）是三个连续的整数，其中必定有2的倍数和3的倍数，则必然是6的倍数。
若n=5k+1或n=5k或n=5k+4，其中k是正整数（下同），那...
全部展开
前提条件：n是正整数，否则无法证明！
因为将n^5-n分解因式为：
n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n^2+1)(n^2-1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
因为（n-1）、n、（n+1）是三个连续的整数，其中必定有2的倍数和3的倍数，则必然是6的倍数。
若n=5k+1或n=5k或n=5k+4，其中k是正整数（下同），那么n-1或n或n+1中含因子5，则n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除。
若n=5k+2，则:
n^2+1=25k^2+20k+4+1=5(5k^2+4k+1)，是5的倍数，同样得到n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除。
若n=5k+3，则：
n^2+1=25k^2+30k+9+1=5(5k^2+6k+2)，是5的倍数，同样得到n(n-1)(n+1)(n^2+1)能被5*6=30整除。
n^5-n能被30整除,则必能被5整除.
所以得证！
收起
你好！
①n=1，2时结论成立
②设n=k（k≥2）结论成立，即5整除（k^5-k)
当n=k+1时，（k+1）^5-k-1=(k^5-k)+5k(k^3+1)+10k^3+10k^2
其中k(k^3+1)=k(k+1)(k^2-k+1)必定为偶数，故5k(k^3+1)能被5整除
从而n=k+1时结论成立
综合①②
综上得证
望采纳