f(x+Y)+f(x-y)=2f(x)f(Y) 求其是偶函数 急

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 03:16:08
f(x+Y)+f(x-y)=2f(x)f(Y) 求其是偶函数 急

f(x+Y)+f(x-y)=2f(x)f(Y) 求其是偶函数 急
f(x+Y)+f(x-y)=2f(x)f(Y) 求其是偶函数 急

f(x+Y)+f(x-y)=2f(x)f(Y) 求其是偶函数 急
令y=-x,代入,
f(0)+f(2x)=2f(x)f(-x)
令x=y,代入
f(2x)+f(0)=2f(x)f(x)
两式相减,得到
f(x)[f(-x)-f(x)]=0
所以f(x)=0或者f(-x)-f(x)=0
当f(x)=0时,它的图像就是x轴,当然关于y轴对称,所以是偶函数
当f(-x)-f(x)=0时,很显然满足偶函数的定义
综上为偶函数

由f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
把x和y互换
得到
f(x+y)+f(y-x)=2f(x)f(y)
由上面两个式子,可以得到 f(x-y)=f(y-x)
也就是
f(x-y)=f(-(x-y))
所以是偶函数