f(x)=sin^nx+cos^nx的最小正周期是n要分奇偶讨论的

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 14:22:03
f(x)=sin^nx+cos^nx的最小正周期是n要分奇偶讨论的

f(x)=sin^nx+cos^nx的最小正周期是n要分奇偶讨论的
f(x)=sin^nx+cos^nx的最小正周期是
n要分奇偶讨论的

f(x)=sin^nx+cos^nx的最小正周期是n要分奇偶讨论的
n=1 f(x)=sinx+cosx=√2sin(x+π/4) 周期2π
n=2 f(x)=1 不存在最小正周期
n=3 f(x)=(sinx)^3+(cosx)^3=(sinx+cosx)(sinx^2+cosx^2-sinxcosx)=(sinx+cosx)(1-sinxcosx)
=(sinx+cosx)[1-(sinx+cosx)^2/2-1/2]
=(1/2)(sinx+cosx)-(3/2)(sinx+cosx)^3 最周期2π
n>3时,
n奇数f(x)=(sinx+cosx)^n-g(x) g(x)= (i=1,n-1)∑ai (sinx)^i cos^(n-i)
因为sinx+cosx=√2sin(x+π/4) 最小正周期2π
所以f(x) 最小正周期2π
n偶数时
f(x)=(sinx^2)^(n/2)+(cosx^2)^(n/2)
=[(1-cos2x)^(n/2)+(1+cos2x)^(n/2)] /2^(n/2)
因为cos2x最小正周期π
f(x)最小正周期π

sinx=cos(兀/2-x) 则: f(sinx) =f[cos(兀/2-x)] =cosn(兀/2-x) =cos(n兀/2-nx) 则: n=4k-3(k属于N*)时, f(sinx)=sin(nx)