作业帮如何证明根二是无理数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 16:24:13
如何证明根二是无理数
如何证明根二是无理数
如何证明根二是无理数
证明：假设根号2不是无理数,那么它就是有理数.则,存在互质的正整数m,n（两个正整数m,n互质,是指m,n的最大公约数是1）,使得 根号2=m/n,从而有 m=根号2n
因此 m的平方等于2倍的n方
所以m为偶数.于是可设m=2k(k为正整数）
从而有 4倍的k方等于2倍的n方
即 n方等于2倍的k方
所以n也为偶数,这与m,n互质矛盾
由上述矛盾可知假设错误,从而根号2为无理数（很抱歉因为符号不会打 所以符号都用汉字表述了
用反证法：
假设√2是有理数，则其一定能表示成
√2＝p/q(p,q都是正整数）则
2=p^2/q^2
p^2=2q^2
可见p必须是偶数，则p^2是4的倍数，但2q^2,如果q是奇数，则2q^2是偶数，不是4的倍数，如果q是偶数，2q^2是2的倍数，也不是4的倍数，
可见不存在正整数p,q使得p^2=2q^2成立，也就是不存在在正整数p,q使得√2...
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用反证法：
假设√2是有理数，则其一定能表示成
√2＝p/q(p,q都是正整数）则
2=p^2/q^2
p^2=2q^2
可见p必须是偶数，则p^2是4的倍数，但2q^2,如果q是奇数，则2q^2是偶数，不是4的倍数，如果q是偶数，2q^2是2的倍数，也不是4的倍数，
可见不存在正整数p,q使得p^2=2q^2成立，也就是不存在在正整数p,q使得√2＝p/q
因此√2是无理数。
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反证法如下：
假如根号2是有理数，那么它一定可以用一个最简的（不能再约分的）分数m/n表示，也就是m、n的最大公约数是1
则：m^2/n^2=2
所以m^2=2*n^2，所以m^2是偶数
偶数的平方一定是偶数，反之亦然，若一个偶数是完全平方数，那它的平方根也一定是偶数，所以m是偶数
假设m=2k，，k是整数。那么2*n^2=(2k)^2=4*k^2
...
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反证法如下：
假如根号2是有理数，那么它一定可以用一个最简的（不能再约分的）分数m/n表示，也就是m、n的最大公约数是1
则：m^2/n^2=2
所以m^2=2*n^2，所以m^2是偶数
偶数的平方一定是偶数，反之亦然，若一个偶数是完全平方数，那它的平方根也一定是偶数，所以m是偶数
假设m=2k，，k是整数。那么2*n^2=(2k)^2=4*k^2
所以n^2=2*k^2，与上面同理
所以说n也是偶数
既然m,n都是偶数，那么m/n就不是最简分数，它们的最大公约数就不是1，至少2也是它们的公约数，很显然2>1，与原题设的1是它们的最大公约数矛盾
故根号2是无理数
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