作业帮如图所示,D为等边△ABC的AB边上一点,以CD为一边,向上作等边△CDE,连接AE.求证：AE‖BC（要求有详细的推理过程）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 15:09:54
如图所示,D为等边△ABC的AB边上一点,以CD为一边,向上作等边△CDE,连接AE.求证：AE‖BC（要求有详细的推理过程）
如图所示,D为等边△ABC的AB边上一点,以CD为一边,向上作等边△CDE,连接AE.求证：AE‖BC（要求有详细的推理过程）
如图所示,D为等边△ABC的AB边上一点,以CD为一边,向上作等边△CDE,连接AE.求证：AE‖BC（要求有详细的推理过程）
∵△ABC和△CDE为等边三角形
∴AC=BC；EC=DC
∠ACB=60°；∠ECD=60°
∴∠ACB=∠ECD
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD
即∠DCB=∠ECA
在△DCB和△ECA中
EC=DC
∠DCB=∠ECA
AC=BC
∴△DCB≌△ECA（S.A.S）
∴∠EAC=∠B∴∠EAC
∵∠ACB=60°
∴∠EAC=∠ACB
∴AE‖BC（内错角相等,两直线平行）
因为角dac=角dec，所以acde四点共园（同弦所对的圆周角相等），所以角eac=角edc=60°
则有角eac=角acb=60°，所以ae平行bc
∵△ABC和△CDE为等边△
∴AC=BC,CE=CD，∠ACB=∠ECD
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD
即∠ACE=∠BCD
又AC=BC,CE=CD
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴∠EAC=∠ABC
∴∠EAC=∠ACB
∴AE‖BC
先证△AEC与△BDC全等，因为EC=DC(等边△),AC=BC(等边△)，角ACE=角BCD
所以角EAC=角DBC=60度，等于角ACB,所以角BCA=角CAE,内错角相等，两线平行。
因为EDC相似于ABC
所以DC分之BC=EC分之AC
角ECD=角ACB
角ECD-角ACD=角ACB-角ACD
即角ACE=角BCD
又因为ACE相似于BCD
所以角EAC=角B
因为在ABC中
AB=AC
所以角B=角ACB
角EAC=角ACB
所以AE平行BC
设角ADE为α，角DCB为α…… 由三角形ADF与ECF相似，得到AF/FD=EF/FC 即三角形AFE与三角形DFC相似， 则较CAE=60 即AE//BC