作业帮速进,求证：存在无穷多组整数（a、b、c）,使得二次函数y=ax^2+bx+c,当自变量x取1、2、3时的函数值分别为m,n,L,;且自变量x在m、n、l时的函数值相等.几乎赫赫功绩：像你这种无耻无奈无聊之徒，
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 03:46:36
速进,求证：存在无穷多组整数（a、b、c）,使得二次函数y=ax^2+bx+c,当自变量x取1、2、3时的函数值分别为m,n,L,;且自变量x在m、n、l时的函数值相等.几乎赫赫功绩：像你这种无耻无奈无聊之徒，
速进,
求证：存在无穷多组整数（a、b、c）,使得二次函数y=ax^2+bx+c,当自变量x取1、2、3时的函数值分别为m,n,L,;且自变量x在m、n、l时的函数值相等.
几乎赫赫功绩：像你这种无耻无奈无聊之徒，请出门右拐不送
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速进,求证：存在无穷多组整数（a、b、c）,使得二次函数y=ax^2+bx+c,当自变量x取1、2、3时的函数值分别为m,n,L,;且自变量x在m、n、l时的函数值相等.几乎赫赫功绩：像你这种无耻无奈无聊之徒，
记函数 y=f(x)=ax^2+bx+c.由题意,m=f(1),n=f(2),l=f(3).
因此函数在m,n,l处的函数值即为 f(m)=f(f(1)),f(n)=f(f(2)),f(l)=f(f(3))
现在要证明存在无穷多组整数(a,b,c)使得函数 g(x)=f(f(x))在x=1,2,3处的函数值满足g(1)=g(2)=g(3).
容易求得：
g(x)
=f(f(x))
=a[f(x)]^2+bf(x)+c
=a(ax^2+bx+c)^2+b(ax^2+bx+c)+c
为使g(1)=g(2)=g(3),只需
a(a+b+c)^2+b(a+b+c)+c
=a(4a+2b+c)^2+b(4a+2b+c)+c
=a(9a+3b+c)^2+b(9a+3b+c)+c
直观上来看,三个未知数只有两个方程,因此必有无穷多组解.
严格来讲,从a(a+b+c)^2+b(a+b+c)+c=a(4a+2b+c)^2+b(4a+2b+c)+c 两边消去c再移项得到：a(4a+2b+c)^2-a(a+b+c)^2=b(a+b+c)-b(4a+2b+c),即
a(3a+b)(5a+3b+2c)=-b(3a+b) (1)
同理由 a(4a+2b+c)^2+b(4a+2b+c)+c=a(9a+3b+c)^2+b(9a+3b+c)+c 类似可得
a(5a+b)(13a+5b+2c)=-b(5a+b) (2)
等式(1)(2)两边分别约去3a+b,5a+b (这里先假设3a+b,5a+b均不为0)可得：
a(5a+3b+2c)=-b 以及 a(13a+5b+2c)=-b.所以如果再假设 a不为0,那么有
5a+3b+2c=13a+5b+2c,于是有 b=-4a.带回上式可知 2c-7a=4.
于是三个整数(a,b,c)可取为(a,b,c)=(a,-4a,(7a+4)/2).
为保证c是整数,只需a是偶数即可.为保证上述3a+b,5a+b,a均不为0,只需a不为0即可.
综上,如果令a=2k,则整数组(a,b,c)=(2k,-8k,7k+2)均满足题中条件,其中k是不为0的整数.
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