若a1,a2,a3线性无关.证明a1,a1+a2,a1+a2+a3 线性无关.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/13 16:23:07
若a1,a2,a3线性无关.证明a1,a1+a2,a1+a2+a3 线性无关.
若a1,a2,a3线性无关.证明a1,a1+a2,a1+a2+a3 线性无关.
若a1,a2,a3线性无关.证明a1,a1+a2,a1+a2+a3 线性无关.
证明:
a1,a2,a3线性无关
设k1(a1)+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0
(k1+k2+k3)a1+(k2+k3)a2+(k3)a3=0
因为a1,a2,a3线性无关
所以
k1+k2+k3=0
k2+k3=0
k3=0
所以k1=k2=k3=0时k1(a1)+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0
所以a1,a1+a2,a1+a2+a3 线性无关.
假设a1,a1+a2,a1+a2+a3 线性相关。
那么必然有一组不全为0的数组k1,k2,k3使得
k1a1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0
即(k1+k2+k3)a1+(k2+k3)a2+k3a3=0
因为a1,a2,a3线性无关
所以
k1+k2+k3=0
k2+k3=0
...
全部展开
假设a1,a1+a2,a1+a2+a3 线性相关。
那么必然有一组不全为0的数组k1,k2,k3使得
k1a1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0
即(k1+k2+k3)a1+(k2+k3)a2+k3a3=0
因为a1,a2,a3线性无关
所以
k1+k2+k3=0
k2+k3=0
k3=0
解方程组得到k1=0,k2=0,k3=0。这和k1,k2,k3不全为0的设定矛盾。
所以a1,a1+a2,a1+a2+a3 线性无关。
收起
证明: 设 k1a1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3) = 0
则 (k1+k2+k3)a1 + (k2+k3)a2 + k3a3 = 0
因为 a1,a2,a3 线性无关'
所以 k1+k2+k3 = 0
k2+k3 = 0
k3 = 0
得 k1=k2=k3=0
所以 a1,a2+a2,a1+a2+a3 线性无关.