作业帮数列中求通项公式的待定系数法的几个小疑问数列递推公式中：a(n+1)+b=Aa(n)+b（A、b为已知数）←形如这样的,已知递推公式,求通项公式,可以设：a(n+1)+xb=A[a(n)+xb],然后求出x,继而把a(n)+xb作为公
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 05:34:51
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数列中求通项公式的待定系数法的几个小疑问数列递推公式中：a(n+1)+b=Aa(n)+b（A、b为已知数）←形如这样的,已知递推公式,求通项公式,可以设：a(n+1)+xb=A[a(n)+xb],然后求出x,继而把a(n)+xb作为公
数列中求通项公式的待定系数法的几个小疑问
数列递推公式中：a(n+1)+b=Aa(n)+b（A、b为已知数）←形如这样的,已知递推公式,求通项公式,可以设：a(n+1)+xb=A[a(n)+xb],然后求出x,继而把a(n)+xb作为公比为A的等比数列,
为什么待定系数法可以设成这样呢?道理在哪里?对于待定系数法的使用范围：是什么样的数列可以用待定系数法呢?人们是怎么想到要设成这样?（是为了求x时让等式两边同时抵消Aa(n)好求出x?）
数列中求通项公式的待定系数法的几个小疑问数列递推公式中：a(n+1)+b=Aa(n)+b（A、b为已知数）←形如这样的,已知递推公式,求通项公式,可以设：a(n+1)+xb=A[a(n)+xb],然后求出x,继而把a(n)+xb作为公
这就是利用构造法 构造出新数列 使新数列为等差或等比
我在这里告诉你几个常见形式的递推式求通项公式的方法
(1)形如：an+1=an+f(n)的递推式
利用叠加法,将an=an-1+f(n-1) an-1=an-2+f(n-2) .a2=a1+f(1),
各式相加,得：n-1
an=a1+Σ f(k) (n≥2)
k=1
(2)形如：an+1=f(n)an的递推式
利用迭代法,将an=f(n-1)an-1 an-1=f(n-2)an-2 .a2=f(1)a1
各式相乘.得：an=a1f(1)f(2).f(n-1)
(3)形如 an+1=pan+q的递推式
当p=1时数列为等差数列,
当q=0,p≠0时数列为等比数列
当p≠1,p≠0,q≠0时,
令an+1-λ=p(an-λ),整理得：an+1=pan+(1-p)λ,由an+1=pan+q 有 （1-p)λ=q 所以 λ=q/(1-p）
从而：an+1-q/(1-p)=p(an-q/(1-p) 所以数列{an-q/(1-p）}是首项为a1-q/(1-p） 公比为p的等比数列
故;an=[a1-q/(1-p)]p^(n-1)+q/(1-p)
(4)形如an+1=pan+f(n)的递推式
将上式两边除以p^(n+1),得：an+1/p^(n+1)=an/p^n+f(n)/p^(n+1)
令bn=an/p^n 则bn+1=bn+f(n)/p^(n+1),由此可求出bn,从而求出an
(5)形如an+1=f(n)an+g(n)的递推式
设辅助数列{h(n)} 使f(n)=h(n)/h(n+1),则an+1=h(n)/h(n+1)*an+g(n)
即：an+1h(n+1)=anh(n)+g(n)h(n+1).令bn=anh(n),则bn+1=bn+g(n)h(n+1)
转化为第一种类型的递推式,可求出bn,从而求出an