作业帮证明级数的收敛若级数an（n从1到无穷）收敛,数列bn收敛,证明级数anbn（n从1到无穷）收敛,提示说用柯西收敛准则,但我证不出来……用绝对收敛的我已经做过了，
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 23:24:44
证明级数的收敛若级数an（n从1到无穷）收敛,数列bn收敛,证明级数anbn（n从1到无穷）收敛,提示说用柯西收敛准则,但我证不出来……用绝对收敛的我已经做过了，
证明级数的收敛
若级数an（n从1到无穷）收敛,数列bn收敛,证明级数anbn（n从1到无穷）收敛,提示说用柯西收敛准则,但我证不出来……
用绝对收敛的我已经做过了，
证明级数的收敛若级数an（n从1到无穷）收敛,数列bn收敛,证明级数anbn（n从1到无穷）收敛,提示说用柯西收敛准则,但我证不出来……用绝对收敛的我已经做过了，
这题明显少条件,如果bn是单调的就可以了.否则结论不成立.
反例：an＝(－1)^n/n^(1/2),级数an收敛.
bn＝(－1)^n/n^(1/2),数列bn收敛于0,但
级数anbn＝级数1/n是发散的.
题目条件等价于级数(bn－b(n－1))是绝对收敛的,这就足够了.
证明得用到Abel分部求和公式：
记a1+...+ak＝Sk,则a1b1+...+akbk
＝Skbk－【S1(b1－b2)+S2(b2－b3)+...+S(k－1)(b(k－1)－bk)】 (*).
注意到条件能得到Sk有极限,bk有极限,且由于Sk有极限故有界,因此
级数(Sk(bk－b(k+1))是绝对收敛的当然也是收敛的,因此(*)式
当k趋于无穷时是有极限的,即级数anbn是收敛的.
ps:你可以自己用Cauchy收敛原理去证,当然还是得用上面的Abel分部求和.
证明过程类似,不过注意到Sk不是从级数an的第一项开始相加了.
自己试一下吧.
如果没有恒正条件的话无法判定：
取an=bn=(-1)/n^(1/2)，由Leibnitz判别法知∑an,∑bn收敛，但∑anbn=∑1/n发散；
取an=bn=(-1)/n，则∑an,∑bn,∑anbn都收敛
如果加上条件an,bn恒正的话就都收敛：
∑an收敛说明an有界，设an
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如果没有恒正条件的话无法判定：
取an=bn=(-1)/n^(1/2)，由Leibnitz判别法知∑an,∑bn收敛，但∑anbn=∑1/n发散；
取an=bn=(-1)/n，则∑an,∑bn,∑anbn都收敛
如果加上条件an,bn恒正的话就都收敛：
∑an收敛说明an有界，设an
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