1/(x^3+8)的不定积分的求法

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/13 12:22:35

1/(x^3+8)的不定积分的求法
1/(x^3+8)的不定积分的求法

1/(x^3+8)的不定积分的求法
∫ 1/(x³+8) dx
= (1/12)∫ dx/(x+2) - (1/12)∫(x-4)/(x²-2x+4) dx
= (1/12)∫ d(x+2)/(x+2) - (1/12)∫ [(1/2)(2x-2)-3]/(x²-2x+4) dx
= (1/12)ln| x+2 | - (1/24)∫ (2x-2)/(x²-2x+4) dx + (1/4)∫ dx/(x²-2x+4)
= (1/12)ln| x+2 | - (1/24)∫ d(x²-2x+4)/(x²-2x+4) + (1/4)∫ dx/[(x-1)²+3]
= (1/12)ln| x+2 | - (1/24)ln| x²-2x+4 | + arctan[(x+1)/√3] / (4√3) + C
拆解步骤：
1/(x³+8) = 1/[(x+2)(x²-2x+4)] = A/(x+2) + (Bx+C)/(x²-2x+4)
1 = A(x²-2x+4) + (Bx+C)(x+2)
1 = Ax²-2Ax+4A+Bx²+Cx+2Bx+2C
1 = (A+B)x² + (-2A+2B+C)x + (4A+2C)
有下列方程式：
A+B = 0 => B=-A
-2A+2B+C = 0
4A+2C = 1 => C=(1-4A)/2
由第二个方程有：-2A+2(-A)+(1-4A)/2 = 0
-4A-4A+1-4A = 0
-12A = -1
A = 1/12
B = -1/12
C = [1-4(1/12)]/2 = (8/12)/2 = 4/12
∴1/(x³+8) = 1/[12(x+2)] + (-x+4)/[12(x²-2x+4)]

这个不用换元法，用凑微分法∫x^3/√(1-x^8)dx =1/4∫1/√(1-x^8)dx^4 =1/4arcsin(x^4)+C

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