三角形内接与圆O,AB是圆O直径,点D在圆O上,过点C的切线交AD的延长线与点E,且AE垂直于CE,连接CD求证（1）AC平分角BAE（2）DC等于BC（3）若AB=5,AC=4,求sin角CDE的值题目补充“三角形ABC内接与圆O”

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 14:21:59

三角形内接与圆O,AB是圆O直径,点D在圆O上,过点C的切线交AD的延长线与点E,且AE垂直于CE,连接CD求证（1）AC平分角BAE（2）DC等于BC（3）若AB=5,AC=4,求sin角CDE的值题目补充“三角形ABC内接与圆O”
三角形内接与圆O,AB是圆O直径,点D在圆O上,过点C的切线交AD的延长线与点E,且AE垂直于CE,连接CD
求证（1）AC平分角BAE（2）DC等于BC（3）若AB=5,AC=4,求sin角CDE的值
题目补充“三角形ABC内接与圆O”

三角形内接与圆O,AB是圆O直径,点D在圆O上,过点C的切线交AD的延长线与点E,且AE垂直于CE,连接CD求证（1）AC平分角BAE（2）DC等于BC（3）若AB=5,AC=4,求sin角CDE的值题目补充“三角形ABC内接与圆O”
证明：（1）、连接OC
∵ CE是圆O切线
∴OC⊥CE
∵AE⊥CE
∴OC‖AE
∴∠OCA=∠EAC
∵OA=OB
∴∠OCA=∠OAC
∴∠EAC=∠OAC
即AC平分角BAE
（2）、∵∠EAC=∠OAC
∴弧CD=弧BC
∴DC=BC
(3)、作CF⊥AB于F
∴∠CFB=∠CED=90°
∵∠EAC=∠BAC CE⊥AE CF⊥AB
∴CE=CF
∵DC=BC
∴△CED≌△CFB
∴∠B=∠CDE
RT△ACB中,sin∠B=AC/AB=4/5
∴ sin∠CDE= sin∠B=4/5

CE是圆O切线
∴OC⊥CE
∵AE⊥CE
∴OC‖AE
∴∠OCA=∠EAC
∵OA=OB
∴∠OCA=∠OAC
∴∠EAC=∠OAC

证明：

（1）、因为：EC是圆0的切线

所以：∠ECD=∠CAE,

而:∠CED=∠AEC=90° （公共角）

所以：RT△DEC∽RT△CEA

所以：∠EDC=∠ECA

而：∠EDC=∠B

所以：∠ECA=∠B

又：∠BCA=∠CEA=90°

所以：RT△ABC∽RT△ACE

所以：∠BAC=∠CAE

所以：AC平分∠BAE

（2)、所以：DC=BC (同圆上圆周角相等，圆周角所对的弦也相等）

（3)、因为：AB=5,AC=4,∠ACB=90°

所以：sin∠ABC=AC/AB=4/5

而∠CDE=∠ABC

所以：sin∠CDE=4/5