已知A^TA为对称矩阵,R(A)=n,对任意的n维向量a不等于0,有a^T(A^TA)a=llAall^2>0,这是怎么弄出来的结论?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 07:00:29

已知A^TA为对称矩阵,R(A)=n,对任意的n维向量a不等于0,有a^T(A^TA)a=llAall^2>0,这是怎么弄出来的结论?
已知A^TA为对称矩阵,R(A)=n,对任意的n维向量a不等于0,有a^T(A^TA)a=llAall^2>0,这是怎么弄出来的结论?

已知A^TA为对称矩阵,R(A)=n,对任意的n维向量a不等于0,有a^T(A^TA)a=llAall^2>0,这是怎么弄出来的结论?
这个很简单:
跟着我的思路来
第一你要知道关于求转置,有一个脱衣原则.即(AB)^T=(B^T)(A^T),语言描述是 AB的转置等于B的转置乘以A的转置,注意是从后往前脱衣,脱衣后B在前A在后.其中A,B两个矩阵可以不是方阵.
第二矩阵的乘法有结合律.即(AB)C=A(BC),这里的矩阵只要在规模上能相乘即可比如A是m行n列的矩阵则B一定是n行的,否则无法作矩阵乘法.
由脱衣原则和矩阵结合律,看本题:
a^T(A^TA)a=a^TA^TAa=(a^TA^T)(Aa)这里的加括号去括号用到的是矩阵的乘法,注意a也是一个n行1列的矩阵.再由脱衣原则a^TA^T=(Aa)^T,代入上式则a^T(A^TA)a=(Aa)^T(Aa).
好了马上出结论了
第三把Aa看成一个整体,由矩阵乘法知Aa是一个n维列向量.
a^T(A^TA)a=(Aa)^T(Aa).就是Aa的模的平方(这个高中的点乘\内积那的概念应该会吧)
然后向量的模一定是非负数,又R(A)=n,对任意的n维向量a不等于0,就能保证Aa不为0,故llAall^2>0
不会可以继续追问

一个更正，问题中的“a=2/3”似乎有误，应为“a^Ta=2/3”
首先可知A是一个对称阵，那么AA^T=E就等价于(E-3aa^T)(E-3aa^T)=E，展开就得E-6aa^T 9(a^Ta)(aa^T)=E,进一步合并同类项有：（9a^Ta-6）aa^T=0
如果aa^T为零矩阵，则A=E，就过于特殊，故应不为零矩阵，所以括号内必为零，证毕哪里有a=2/3？这是什么？...

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已知A^TA为对称矩阵,R(A)=n,对任意的n维向量a不等于0,有a^T(A^TA)a=llAall^2>0,这是怎么弄出来的结论? A是m*n矩阵,A^TA为正定矩阵为什么⇒ R(A^TA)=n, 设A=(a1,a2,...,an)属于R^n(ai不全为零),求矩阵(A^T)A的特征值与特征向量.由于 A^TA 是实对称矩阵(可对角化),所以A^TA只有一个非零特征值.而 (A^TA)A^T = A^T(AA^T) = (a1^2+...+an^2)A^T所以 A^T 是 A^TA 的属于特证明：对任意矩阵A,有r(A^TA)=r(AA^T)=r(A) 设A为n阶实矩阵,A^T为A转置矩阵,证明：R（A）=R(A^TA)回答即使再给100分 A是m*n矩阵则r(A)=r(A^TA) 怎么证明设A是n阶实对称矩阵,P是n阶可逆矩阵.已知n维列向量a是A的属于特征值r的特征向量,则矩阵(P^-1AP)^T属于特征值r的特征向量是（）.（A）P^-1a （B）P^Ta （C）Pa （D）(P^-1)^Ta 设A为实矩阵,证明r(A^TA)=r(A) 设A为m×n实矩阵（m≠n）.E是n×n单位矩阵,证明E+A∧TA是正定对称阵. 线性代数设A为n（n>2）阶实对称矩阵,A^2=A,秩（A)=r 已知秩为r的n阶实对称矩阵A 满足A^2=3A 求det(A-E） A是3*4矩阵AA^T为三阶对称矩阵,求|A^TA| 设A是m*n实矩阵,若R=（A^TA)=5,则R(A)=? 已知:A为n阶实正定对称矩阵,B为n阶反实对称矩阵证:det(A+B)> 0 设mxn实矩阵A的秩为n,证明:矩阵A^TA为正定矩阵. 证明：对任意的n阶矩阵A,A+A'为对称矩阵,A-A'为反对称矩阵.是矩阵的转置设A是n阶实对称矩阵,证明r(A)=r(A^2) 已知矩阵n*n矩阵B=A*A',A为n*r矩阵,求解A矩阵,matlab如何实现这个问题主要有两个小问题1、已知N*N半正定矩阵K将其对角化分解,即K=P*v*P',p为N*r型,V为r*r对角阵,已知K如何得到v矩阵和P矩阵?2、已知Y*