作业帮在关于方阵的特征值和特征向量中,为什么一个单根的特征值只能对应一个线性无关特征向量.也就是说为什么R(A-λ0E)=n-1,其中A为n阶方阵,λ0为一个单根的特征值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 03:29:23
在关于方阵的特征值和特征向量中,为什么一个单根的特征值只能对应一个线性无关特征向量.也就是说为什么R(A-λ0E)=n-1,其中A为n阶方阵,λ0为一个单根的特征值.
在关于方阵的特征值和特征向量中,为什么一个单根的特征值只能对应一个线性无关特征向量.也就是说为什么R(A-λ0E)=n-1,其中A为n阶方阵,λ0为一个单根的特征值.
在关于方阵的特征值和特征向量中,为什么一个单根的特征值只能对应一个线性无关特征向量.也就是说为什么R(A-λ0E)=n-1,其中A为n阶方阵,λ0为一个单根的特征值.
请你先到百度百科上查一下什么是Jordan标准型.所有有限维线性空间的线性变换都能取一组很好的基,使得其在这组基下对应的矩阵是一个准对角矩阵--Jordan标准型.不妨设A的Jordan标准型是J,则存在可逆矩阵B使得A=B逆JB,于是A-λ0E=B逆(J-λ0E)B,于是R(A-λ0E)=R(J-λ0E).我们知道,相似矩阵的特征多项式是相等的,于是J的特征值λ0也是没有重根的,也就是说J的对角线上只有一个λ0,那么J-λ0E的对角线上只有一个是0,于是R(A-λ0E)=n-1.
如果有两个线性无关且正交归一的向量e1,e2(总可以对他们进行线性组合使得正交归一的），在n维线性空间中取一组正交归一基e1,e2,e3...en,这总是可以办到的。
于是得到一个正交阵B=(e1,e2,...en),记X=(e3,e4...en)
正交变换
C=B(T)AB=(e1,e2,X)(T)A(e1,e2,X)=(e1(T),e2(T),X(T))(λ0e1,λ0...
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如果有两个线性无关且正交归一的向量e1,e2(总可以对他们进行线性组合使得正交归一的），在n维线性空间中取一组正交归一基e1,e2,e3...en,这总是可以办到的。
于是得到一个正交阵B=(e1,e2,...en),记X=(e3,e4...en)
正交变换
C=B(T)AB=(e1,e2,X)(T)A(e1,e2,X)=(e1(T),e2(T),X(T))(λ0e1,λ0e2,AX)
=(λ0E(2*2),D)
0, F
因为是正交变换，因此C和A的特征多项式相同，即det(C-λE)=det(A-λE)
但是det(A-λE)=det(C-λE)=(λ0-λ)^2*det(F-λE((n-2)*(n-2))
由此得到λ0是A的特征多项式的二重根，与它是单根矛盾。
上述证明轻易推广到到“特征多项式的一个m重根最多对应m个线性无关特征向量”。当然m>1的情况下不能保证一定有m个线性无关特征向量,但是至少有一个。
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