作业帮已知函数f(x）是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)＝f(x－1）,若f(0）＝2,则f(2012）的值为多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 03:36:22
已知函数f(x）是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)＝f(x－1）,若f(0）＝2,则f(2012）的值为多少?
已知函数f(x）是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)＝f(x－1）,若f(0）＝2,则f(2012）的值为多少?
已知函数f(x）是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)＝f(x－1）,若f(0）＝2,则f(2012）的值为多少?
因为g(x)＝f(x－1）,所以g(x+1)＝f(x)
因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-x)＝f(x),即g(-x+1)=g(x+1)
因为g(x)是R上的奇函数,所以g(x) = -g(-x)
将x替换成x+1得到g(x+1)=-g(-x-1),结合第二行最后的等式,得到
-g(-x-1) = g(-x+1),将-x换成x得到,-g(x-1) = g(x+1)
再将x+1换成x得到,-g(x-2) = g(x),
将x换成x-2得到-g(x-4) = g(x-2),结合上一行得到g(x) = -(-g(x-4))=g(x-4)
所以我们得出结论,g(x)有一个提点,那就是x每加2,g(x+2)的值就变为负的g(x)了.
也就是f(0) = g(1)=-g(3)=g(5)=-g(7)………………=(-1)^n×g((2n+1))=2
而f(x)=g(x+1),所以f(2012)=g(2013)=(-1)^1006×g((2×1006+1))=2 （这里面n=1006）
所以f(2012) = g(2013) = g(1) = f(0) = 2.
最终结果就是f(2012) = 2
写的可能烦了一点,真正解答的时候可以适当概括一些步骤.
g(x)=f(x-1)
所以g(-x)=f(-x-1),因为f(x)是在R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数
所以-g(x)=f(x+1)=-f(x-1)
所以f(x)=-f(x+2)
所以f(x-2)=-f(x)=f(x+2)
所以f(x)=f(x+4)
所以周期为4
因为g(x)是R上的奇函数 所以g(0)=0
f（2011）=f(-1)=g(0)=0