作业帮X＾＋Y＾＋4X－2Y－20＝0,求经过点P（3,－9）与圆相切的直线方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 08:32:48
X＾＋Y＾＋4X－2Y－20＝0,求经过点P（3,－9）与圆相切的直线方程
X＾＋Y＾＋4X－2Y－20＝0,求经过点P（3,－9）与圆相切的直线方程
X＾＋Y＾＋4X－2Y－20＝0,求经过点P（3,－9）与圆相切的直线方程
设圆x²+y²+4x-2y-20=0的圆心为Q,所求的两个切点为A,B,PQ交AB于M
x²+y²+4x-2y-20=0得(x+2)²+(y-1)²=5²
该圆的圆心坐标为Q(-2,1),半径为5
点Q(-2,1)与点P(3,-9)所在直线的方程PQ为y=-2x-3,斜率为-2
|PQ|=√[(3+2)²+(-9-1)²]=5√5
|PA|=|PB|=√(|PQ|²-|QA|²)=√[(5√5)²-5²]=10
设y=-2x-3的倾斜角为α,则有tanα=-2
由平面几何知识易知PQ垂直平分|AB|
AB斜率为tan(π/2+α)=-cotα=1/2
设AB的方程为y=x/2+b
|PA|•|QA|=|PQ|•|MA|
得|MA|=|PA|•|QA|/|PQ|=10•5/5√5=2√5
由射影定理易知|QM|=√5,|PM|=4√5
设M(m,-2m-3),m∈(-2,3)
|QM|²=(m+2)²+(-2m-3-1)²=5
m²+4m+3=0
(m+1)(m+3)=0
得m=-1
M(-1,-1)
代入AB:y=x/2+b得b=-1/2
AB:y=x/2-3/2
代入x²+y²+4x-2y-20=0得
x²+(x/2-1/2)²+4x-2(x/2-1/2)-20=0
x²+2x-15=0
(x+5)(x-3)=0
x1=-5,x2=3
y1=-5/2-1/2=-3,y2=3/2-1/2=1
A(-5,-3),B(3,1)
切线PA:y=-3x/4-27/4
切线PB:x=3
与圆相切的直线方程为y=-3x/4-27/4和x=3
其实没有必要那么复杂,用判别式等于0解更是有一个高次方程.
求出圆心坐标和半径就很简单
圆心坐标(-2,1),半径5
P(3,-9)
那么有一条切线就是x=3,倾斜角为π/2
设x=3与y=-2x-3的夹角为α,由平面几何知识易知x=3与另一条切线的夹角为2α
tanα=5/|1-(-9)|=1/2
tan2α=2tanα/(1-tan²α)=(2•1/2)/[1-(1/2)²]=4/3
该切线与x轴的夹角即倾斜角为π/2+2α
斜率tan(π/2+2α)=-cot2α=-1/tan2α=-3/4
经过点(3,-9)得方程y=-3x/4-27/4
设直线方程为y+9=k(x-3)也就是y=kx-3k-9
带入到第一个方程中销掉y
会得到一个一元二次方程
然后由于相切只有一个交点，也就是方程只有一个解
因此b方-4ac=0
则可以解除k的值