作业帮导数题第二小题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 14:06:35
导数题第二小题
导数题第二小题
导数题第二小题
先换元,g(s)=f(e^s)
也就是令x=e^s
x[1]=e^s[1]
x[2]=e^t[2]
这样的好处是：
x属于(0,1)区间
所以s属于(-无穷,0)区间
第2问,把|lnx[1]-lnx[2]|除到左边
由于换元,所以左边分母直接变成|s[1]-s[2]|
而分子是|g(s[1])-g(s[2])|
右边是(|t-1|+1)
现在左边
|g(s[1])-g(s[2])|／|s[1]-s[2]|
由于g(s)是连续的函数
所以数形结合,就是连接曲线上两点的斜率的绝对值
所以在曲线上这两个点之间的位置,存在一个点
使得这个点的斜率为(g(s[1])-g(s[2]))／(s[1]-s[2])
也就是要证明当s属于(-无穷,0)区间时,g(s)'
|t-1|+1 >= 1
方法1（柯西中值定理）：
|f(x1)-f(x2)|/|lnx1-lnx2| = |f`(ε)/1/ε| ε∈(x1,x2) (柯西中值定理)
原式化简的：
|4/3ε^3 - 2ε +1| <= |t-1|+1
其中ε∈(0,1), 2ε(2/3ε^2 - 1) < 0
|4/3ε^3 - 2ε +1| < 1 <...
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|t-1|+1 >= 1
方法1（柯西中值定理）：
|f(x1)-f(x2)|/|lnx1-lnx2| = |f`(ε)/1/ε| ε∈(x1,x2) (柯西中值定理)
原式化简的：
|4/3ε^3 - 2ε +1| <= |t-1|+1
其中ε∈(0,1), 2ε(2/3ε^2 - 1) < 0
|4/3ε^3 - 2ε +1| < 1 <= |t-1|+1
方法2(直接带入)：
设 x1 < x2, lnx1 - lnx2 < 0 , x1 - x2 <0
|f(x1)-f(x2)|/|lnx1-lnx2| = |{2/3(x1^3 - x2^3) - 2(x1 - x2)}/(lnx1 - lnx2) + 1|
{2/3(x1^3 - x2^3) - 2(x1 - x2)} = 2(x1 - x2){1/3(x1^2 + x1*x2 + x2^2)-1}
{2/3(x1^3 - x2^3) - 2(x1 - x2)}/(lnx1 - lnx2) = 2(x1 - x2)/(lnx1 - lnx2) * {1/3(x1^2 + x1*x2 + x2^2)-1}
1/3(x1^2 + x1*x2 + x2^2) < 1/3(1+1+1) = 1
{1/3(x1^2 + x1*x2 + x2^2)-1} < 0
2/3(x1^3 - x2^3) - 2(x1 - x2)}/(lnx1 - lnx2) < 0
|f(x1)-f(x2)|/|lnx1-lnx2| < 1 <= |t-1|+1
收起
http://www.docin.com/p-789547303.html 这里有标准答案，不过，我的答案和标准答案也有些区别，把x1和x2分离开后，证明f(x)+(|t-1|+1)lnx为增函数且f(x)-(|t-1|+1)lnx为减函数即可！有问题可以加我QQ。