高数微积分习题,明天就要交作业啦

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 22:14:00

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^ 是次方
f(x)在x=0处连续,因为lim(x→0)f(x)=f(0),下证：
当x≠0时,lim(x→0)f(x)=lim(x→0)(e^x-1-x)/(x(e^x-1))
将x=0直接代入时,分子=分母=0,属于0/0型,可以用洛必达法则,分子分母求导
(e^x-1-x)'=e^x-1,(x(e^x-1))=xe^x+e^x-1
所以lim(x→0)(e^x-1-x)/(x(e^x-1))=lim(x→0)(e^x-1)/(xe^x+e^x-1)
此时将x=0代入,分子=分母=0,仍属于0/0型,再用洛必达法则,再次对分子分母求导
(e^x-1)'=e^x,(xe^x+e^x-1)=xe^x+e^x+e^x=(x+2)e^x
所以lim(x→0)(e^x-1)/(xe^x+e^x-1)=lim(x→0)e^x/((x+2)e^x)=lim(x→0)1/(x+2)=1/2
即lim(x→0)f(x)=1/2=f(0)

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