作业帮甲.乙两书只含2.3质因数,甲数有21个约数,乙数有10个约数,它们最大的公约数是18,这两个数分别是（）（）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 22:30:21
甲.乙两书只含2.3质因数,甲数有21个约数,乙数有10个约数,它们最大的公约数是18,这两个数分别是（）（）
甲.乙两书只含2.3质因数,甲数有21个约数,乙数有10个约数,它们最大的公约数是18,这两个数分别是（）（）
甲.乙两书只含2.3质因数,甲数有21个约数,乙数有10个约数,它们最大的公约数是18,这两个数分别是（）（）
甲数576
乙数162
根据约数个数公式,
甲数约数个数= 21 = 3×7 = （2+1）×（6+1）
即甲的约数中有2个2、6个3,或者2个3、6个2
乙数约数个数= 10 = 2×5 = （1+1）×（4+1）
即乙的约数中有1个2、4个3,或者1个3、4个2
要使他们最大公约数为18 = 2×3×3
甲、乙数相同的因数只能是2、3、3,其余不同.
因此
甲数 = 2×3×3 ×2×2×2×2×2 = 576
乙数 = 2×3×3 ×3×3 = 162
甲：576乙：162
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首先要知道约数的个数是怎么数出来的，假若某数=2^x*3^y，那这个数的约数应该也是2^a*3^b，其中0<=a<=x，0<=b<=y，一共就有(x+1)*(y+1)种搭配方法，也就是有(x+1)*(y+1)个约数。
从它们最大的公约数是18这个条件中，可以知道甲、乙两数的x必有x>=1，y>=2，再由甲数有21个约数，乙数有10个约数，这两个条件知道，21=3*7=1*21,10=1*1...
全部展开
首先要知道约数的个数是怎么数出来的，假若某数=2^x*3^y，那这个数的约数应该也是2^a*3^b，其中0<=a<=x，0<=b<=y，一共就有(x+1)*(y+1)种搭配方法，也就是有(x+1)*(y+1)个约数。
从它们最大的公约数是18这个条件中，可以知道甲、乙两数的x必有x>=1，y>=2，再由甲数有21个约数，乙数有10个约数，这两个条件知道，21=3*7=1*21,10=1*10=2*5.因为两个数的x+1和y+1都不可能是1，所以确定下应该是，21=3*7，10=2*5。然后要从较小的数开始考虑，乙数的2，只可能由x+1得到，所以知道乙数的x=1,y=4，也就是说，乙数=2^1*3^4=162，再考虑甲数。
表面上看，甲数有可能是2^2*3^6或是2^6*3^2，但实际上，加上它们最大的公约数是18这个条件，就有18=2^(min(甲x，乙x))*3^(min(甲y，乙y))，也就是说，min(甲x，乙x)=1，min(甲y，乙y)=2，又因为乙y=4，所以甲y必为2，故甲数=2^6*3^2=576。
综上所述，甲数=2^6*3^2=576，乙数=2^1*3^4=162
收起
甲乙都只含2、3吗？