作业帮已知函数f(x)满足xf(x)=b+cf(x) b不等于0 f(2)=-1 且f(1-x)=-f(x+1)对定义域内任何x都成立写出f(x)的单调区间,并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 04:20:24
已知函数f(x)满足xf(x)=b+cf(x) b不等于0 f(2)=-1 且f(1-x)=-f(x+1)对定义域内任何x都成立写出f(x)的单调区间,并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数
已知函数f(x)满足xf(x)=b+cf(x) b不等于0 f(2)=-1 且f(1-x)=-f(x+1)对定义域内任何x都成立
写出f(x)的单调区间,并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数
已知函数f(x)满足xf(x)=b+cf(x) b不等于0 f(2)=-1 且f(1-x)=-f(x+1)对定义域内任何x都成立写出f(x)的单调区间,并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数
由已知得:
xf(x)=b+cf(x) -----[1]
f(1-x)=-f(x+1) -----[2]
由于f(2)=-1
则代入[1]得:
2f(2)=b+cf(2),
即b-c=-2 -----[3]
再令x=1代入[2]
得f(0)=-f(2)=1,
则再将x=0代入[1]
得0=b+cf(0),
即b+c=0 -----[4]
由[3][4]
解得b=-1,c=1,
代入[1]得
xf(x)=f(x)-1,
故f(x)=1/(1-x),
其定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)
任取x1,x2属于(-∞,1)∪(1,+∞)
且x1>x2
则:
f(x1)-f(x2)
=1/(1-x1)-1/(1-x2)
=[(1-x2)-(1-x1)]/[(1-x1)(1-x2)]
=[x1-x2]/[(1-x1)(1-x2)]
由于x1>x2
则:x1-x2>0
(1)当x1>x2>1时
[(1-x1)(1-x2)]>0
则:f(x1)-f(x2)
=[x1-x2]/[(1-x1)(1-x2)]
>0
则:x1>x2>1时,f(x1)>f(x2)
则:f(x)在(1,+∞)上单调递增
(2)当1>x1>x2时
[(1-x1)(1-x2)]>0
则:f(x1)-f(x2)
=[x1-x2]/[(1-x1)(1-x2)]
>0
则:x1>x2>1时,f(x1)>f(x2)
则:f(x)在(-∞,1)上单调递增
综上,f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递增
f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递增