已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,且AA1=2,底面ABCD的边长均大于2,且∠DAB=45°,点p在底面ABCD内运动,且在AB,CD上的摄影分别为M,N若|PA|=2,则三棱柱P-D1MN体积的最大值为?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 11:10:32

已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,且AA1=2,底面ABCD的边长均大于2,且∠DAB=45°,点p在底面ABCD内运动,且在AB,CD上的摄影分别为M,N若|PA|=2,则三棱柱P-D1MN体积的最大值为?
已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,且AA1=2,底面ABCD的边长均大于2,且∠DAB=45°,点p在底面
ABCD内运动,且在AB,CD上的摄影分别为M,N若|PA|=2,则三棱柱P-D1MN体积的最大值为?

已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,且AA1=2,底面ABCD的边长均大于2,且∠DAB=45°,点p在底面ABCD内运动,且在AB,CD上的摄影分别为M,N若|PA|=2,则三棱柱P-D1MN体积的最大值为?
题目所要求的似乎是“三棱锥 P-D1MN ”,也就是三棱锥 D1-PMN 的体积；
因为 D1 是四棱柱上底面上的点,故其到下底面 ABCD 的距离 H 与 A' 点相同,而 P、M、N 三点均在三棱柱下底面上,所以 H 即是三棱锥 D1-PMN 的 PMN 面上的高,欲求三棱锥最大体积,只要求出△PMN 的最大面积即得；
如左图,设∠PAB=α,则：
S△PAB=(PAsinα)*(PAcosα)/2=2²*sinαcosα/2=sin2α；
S△PAD=sin[2(45°-α)]=cos2α；
S△MAN=(AM*AN*sin45°)/2=[(PAS*sinα)*PA*sin(45°-α)]/2=2sinαsin(45°-α)；
S△PMN=S△PAB+S△PAD-S△MAN=sin2α+cos2α-2sinαsin(45°-α)
=(√2/2)+√3sin(2α+φ)≤(√2/2)+√3；
max V(P-D1MN)=max V(D1-PMN)≤(H*maxS△PMN)/3=2*[(√2/2)+√3]/3=(√2+2√3)/3；