如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD=a(1)求证:MN∥平面PAD; (2)求证:平面PMC⊥平面PCD

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/11 16:27:29
如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD=a(1)求证:MN∥平面PAD;  (2)求证:平面PMC⊥平面PCD

如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD=a(1)求证:MN∥平面PAD; (2)求证:平面PMC⊥平面PCD
如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD=a
(1)求证:MN∥平面PAD;
  (2)求证:平面PMC⊥平面PCD

如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD=a(1)求证:MN∥平面PAD; (2)求证:平面PMC⊥平面PCD
考点:平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质
专题:证明题
分析:(1)欲证MN∥平面PAD,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PAD内一直线平行即可,设PD的中点为E,连接AE、NE,易证AMNE是平行四边形,则MN∥AE,而AE⊂平面PAD,NM⊄平面PAD,满足定理所需条件;
(2)欲证平面PMC⊥平面PCD,根据面面垂直的判定定理可知在平面PMC内一直线与平面PCD垂直,而AE⊥PD,CD⊥AE,PD∩CD=D,根据线面垂直的判定定理可知AE⊥平面PCD,而MN∥AE,则MN⊥平面PCD,又MN⊂平面PMC,满足定理所需条件.
证明:(1)设PD的中点为E,连接AE、NE,
由N为PC的中点知EN

.
1
2
DC,
又ABCD是矩形,∴DC

.
AB,∴EN

.
1
2
AB
又M是AB的中点,∴EN

.
AM,
∴AMNE是平行四边形
∴MN∥AE,而AE⊂平面PAD,NM⊄平面PAD
∴MN∥平面PAD
证明:(2)∵PA=AD,∴AE⊥PD,
又∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴CD⊥PA,而CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE,∵PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD,
∵MN∥AE,∴MN⊥平面PCD,
又MN⊂平面PMC,
∴平面PMC⊥平面PCD.
点评:本题主要考查平面与平面垂直的判定,以及线面平行的判定,同时考查了空间想象能力和推理能力,以及转化与划归的思想,属于基础题.

如图所示 四棱锥P-ABCD中 底面ABCD是矩形 PA⊥平面ABCD M . N 分别是AB. PC 的中点 ,PA=AD=a 在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,PA=AB=2,则四棱锥P-ABCD的体积为 如图所示,四棱锥P-ABCD中,AB垂直AD,CD垂直AD,PA垂直底面ABCD如图所示,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC中点,在侧面PAD内找一点N,使MN⊥平面PBD 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥平面ABCD,AB=根号3 在如图所示的四棱锥P-ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,AB//DC,角DAB=90° 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,侧棱PA⊥底面,E、F分别是AB、PC的中点,PA=AD.求证:EF⊥面PCD 如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB,E、F、G分别为PC、PD、BC的中点(1)证PA垂直EF (2)证FG平行平面PAB. 如图所示,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,∠ABC=60°,PA=AB=BC.点E是PC的中点,求证:①CD⊥AE②PD⊥平面ABE 如图5,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,角DAB=60°,AB=2AD=2,PD=根号3,PD⊥底面ABCD.求四棱锥P-ABCD的面积. 如图所示,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点,已证明B.如图所示,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点,已证明BM//平面PAD.在侧面PAD内找一点N 在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA 底面ABCD,且PA=AB.(1)求证:BD 平面PAC; (2)求异面直线BC 在四棱锥P-ABCD中,PD垂直于底面ABCD,底面ABCD为正方形,M为PC的中点,PD=AB,求证PA平行平面MBD 如图所示的四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,E为PC的中点,求证:PA∥平面BDE.求大神帮助 如图所示 在四棱锥p-abcd中,底面abcd是正方形,侧棱pd垂直底面abcd,pd=dc,e...如图所示 在四棱锥p-abcd中,底面abcd是正方形,侧棱pd垂直底面abcd,pd=dc,e是pc的中的.求证pa平行平面edb 如图,在四棱锥p-ABCD,PD⊥底面ABCD,AD⊥AB 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,角DAB=60度,AB=2AD ,PD垂直底面ABCD.(1)证明PA垂直BD;(2)若P...四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,角DAB=60度,AB=2AD ,PD垂直底面ABCD.(1)证明PA垂直BD;(2)若PD=AD,求二面角 四棱锥p-ABCD中 底面ABCD为正方形,PD垂直底面,AB=PD,E F分别为PB ,AD中点 求证 EF垂直平面PCB 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD垂直于底面ABCD,PA等于PD等于2,AD等于2倍根号2