在三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.h为AB上的高求证a+b≥√（c^2+4h^2)今天之前要答案，分数我会追加

在三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.h为AB上的高求证a+b≥√（c^2+4h^2)今天之前要答案，分数我会追加
在三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.h为AB上的高
求证a+b≥√（c^2+4h^2)
今天之前要答案，分数我会追加

在三角形ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.h为AB上的高求证a+b≥√（c^2+4h^2)今天之前要答案，分数我会追加
设AB上的高为AD
根据勾股定理,
∵AD^2+CD^2=AC^2
即AD^2+h^2=a^2
∵BD^2+CD^2=BC^2
即BD^2+h^2=b^2
则：
a+b=√(AD^2+h^2)+√(BD^2+h^2)
使用完全平方式带进去
=√((AD^2+h^2)+(BD^2+h^2)+2√(AD^2+h^2)*√(BD^2+h^2))
因为a^2+b^2≥2ab
所以：√((AD^2+h^2)+(BD^2+h^2)+2√(AD^2+h^2)*√(BD^2+h^2))=
√((AD^2+h^2)+(BD^2+h^2)+2√(AD^2BD^2+h^2(AD^2+BD^2)+h^4))
=√((AD^2+h^2)+(BD^2+h^2)+2√(AD^2BD^2+h^2(AD^2+BD^2)+h^4))
因为a^2+b^2≥2ab
≥√((AD^2+h^2)+(BD^2+h^2)+2√(AD^2BD^2+2h^2ADBD+h^4))
=√((AD^2+h^2)+(BD^2+h^2)+2(ADBD+h^2))
=√((AD+BD)^2+4h^2)
=√((AB)^2+4h^2)
=√(c^2+4h^2)
即a+b≥√（c^2+4h^2)

我这里提供一种解法，仅供参考
h=1/2bcsink/a k为a边所对的角
a^2=b^2+c^2-2bccosk
所以 b+c>=sqr(a^2+4h^2)
等价于 (b+c)^2>a^2+4h^2
b^2+c^2+2bc>a^2+b^2c^2sin^2k/a^2
b^2+c^2+2bc>b^2+...

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我这里提供一种解法，仅供参考
h=1/2bcsink/a k为a边所对的角
a^2=b^2+c^2-2bccosk
所以 b+c>=sqr(a^2+4h^2)
等价于 (b+c)^2>a^2+4h^2
b^2+c^2+2bc>a^2+b^2c^2sin^2k/a^2
b^2+c^2+2bc>b^2+c^2-2bccosk+b^2c^2sin^2k/a^2
2bc(1+cosk)>b^2c^2sin^2k/a^2
2(1+cosk)>bcsin^2k/a^2
整理成关于cosk的方程为
bccos^2k+2a^2cosk+2a^2-bc>0 cosk(-1,1)
利用求根公式求得
x1=-1，x2=(-2a^2+bc)/bc=1-2a^2/bc<1
要使在(-1,1)， bccos^2k+2a^2cosk+2a^2-bc>0恒成立
应使 1-2a^2/bc <=-1
即有2a^2-bc>=1
所以当bc，满足2a^2-bc>=1 b+c>=sqr(a^2+4h^2)
此题由于采用代数解法，而不是几何解法，故较繁琐。

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c^2+4h^2=(c/2)^2+2c+(c/2)^2+h^2+4h+h^2
按照这思路，通过加中间项求解

h=asinB=bsinA,b=asinB/sinA
c=acosB+bcosA=acosB+asinB*cotA
(a+b)^2-(c^2+4h^2)
=a^2(1+sinB/sinA)^2-a^2(cosB+sinB*cotA)^2-4a^2sinB^2
=a^2[(1+sinB^2/sinA^2+2sinB/sinA)-
(cosB^2+sin...

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h=asinB=bsinA,b=asinB/sinA
c=acosB+bcosA=acosB+asinB*cotA
(a+b)^2-(c^2+4h^2)
=a^2(1+sinB/sinA)^2-a^2(cosB+sinB*cotA)^2-4a^2sinB^2
=a^2[(1+sinB^2/sinA^2+2sinB/sinA)-
(cosB^2+sinB^2*cotA^2+2cosB*sinB*cotA)-4sinB^2]
=a^2[1-cosB^2+sinB^2(1/sinA^2-cotA^2)+2sinB/sinA(1-cosB*cosA)-4sinB^2]
=2a^2*sinB/sinA(1-cosB*cosA-sinB*sinA)
=2a^2*sinB/sinA[1-cos(A-B)]
≥0
所以(a+b)^2≥(c^2+4h^2)
a+b≥√(c^2+4h^2)

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不会