已知a∈R,函数f（x）=x²|x-a|求函数f（x）在区间【1,2】上的最小值

已知a∈R,函数f（x）=x²|x-a|求函数f（x）在区间【1,2】上的最小值
已知a∈R,函数f（x）=x²|x-a|
求函数f（x）在区间【1,2】上的最小值

已知a∈R,函数f（x）=x²|x-a|求函数f（x）在区间【1,2】上的最小值

画的这两个是a<0和a>0时的图像曲线.粗线是横轴,省略了纵轴.

f(x)=x^3-ax^2,(x>=a)

       ax^2-x^3   (x<a)

根据f'(x)=3x^2-2ax    (x>=a)

              2ax-3x^2     (x<a)

令f'(x)=0,得到两个极值点x=0或2a/3

(1)

当a<0的时候,

两个极值点都在a的右侧,画出图来,就是第一个图.

那么[1,2]区间在0的右侧,处于增区间上,

此时最小值是f(1)=1-a

(2)

当a>=0的时候,两个极值点都在a的左侧,划出来是第二个图.

<1>若0<=a<=1,那么[1,2]区间在a的右侧,处于增区间上,

此时最小值是f(1)=1-a

<2>

若1<a<=2的时候,此时最小值点必然为f(a)=0

<3>

若a>2

此时f(1)=a-1,f(2)=4(a-2)

若a-1>=4(a-2)

即2<a<=7/3时,

最小值为f(2)=4(a-2)

若a-1<4(a-2)

即a>7/3时,

最小值为f(1)=a-1

综上,

a<=1,最小值为f(1)=1-a

1<a<=2,最小值为f(a)=0

2<a<=7/3,最小值为f(2)=4(a-2)

a>7/3,f(1)=a-1

分成四段来讨论