作业帮求证1+2+2^2+3^3+..+2^(5n-1)能被31整除用二项式定理
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 12:13:56
求证1+2+2^2+3^3+..+2^(5n-1)能被31整除用二项式定理
求证1+2+2^2+3^3+..+2^(5n-1)能被31整除
用二项式定理
求证1+2+2^2+3^3+..+2^(5n-1)能被31整除用二项式定理
首先按照等比数列求和公式计算
1+2+2^2+2^3+..+2^(5n-1)
把 5n 看成一个整体,比如设 m = 5n
则以上一共有 m 项
按照等比数列公式
Sm = 1 * (2^m -1)/(2-1) = 2^m -1
= 2^5n - 1
= (2^5)^n - 1
= 32^n -1
= (31 + 1)^n -1
对于 (31 + 1 )^n ,利用二项式定理
上式 =
31^n + C(n,1)* 31^(n-1) + C(n,2)*31^(n-2) + …… + C(n,n-1)*31 + C(n,n) - 1
其中 C(n,n) = 1,所以 继续
= 31^n + C(n,1)* 31^(n-1) + C(n,2)*31^(n-2) + …… + C(n,n-1)*31
每项中 都含有31,所以 ……
原题应为求证1+2+2^2+2^3+..+2^(5n-1)能被31整除 吧!
原式=2^5n-1
=(2^5-1)(2^5(n-1)+2^5(n-2).......)
所以1+2+2^2+2^3+..+2^(5n-1)能被31整除