三角形ABC是边长为1的正三角形,三角形BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点,做一个60度角,角的两边分别交AB于M,交AC于N,连接MN,形成一个三角形AMN,求证：三角形AMN的周长为2

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 12:53:30

三角形ABC是边长为1的正三角形,三角形BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点,做一个60度角,角的两边分别交AB于M,交AC于N,连接MN,形成一个三角形AMN,求证：三角形AMN的周长为2
三角形ABC是边长为1的正三角形,三角形BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点,做一个60度角,角的两边分别交AB于M,交AC于N,连接MN,形成一个三角形AMN,求证：三角形AMN的周长为2

三角形ABC是边长为1的正三角形,三角形BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点,做一个60度角,角的两边分别交AB于M,交AC于N,连接MN,形成一个三角形AMN,求证：三角形AMN的周长为2
证明：将△DBM以D为旋转中心顺时针旋转120度,使BD与CD重合得到△DBM′
△DBM≌△DBM′
∵∠BDC=120°BD=CD,∴∠BCD=∠CBD=30°
∴∠DBM=∠DCN=30°+60°=90°∴∠DBM′+∠DCM=180°.N、C、M′在一条直线上.DNM′是三角形
∠NDM′=∠NDC+∠CDM′=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠NDM=60°=∠NDM
在△NDM和△NDM′中
DM=DM′,∠NDM=∠NDM′,DN=DN
∴△NDM≌△NDM′,NM=NM′
△AMN周长为AM+AN+NM=AM+AN+NM′=AM+AN+CN+BM=AB+AC=2

全部展开

将△DBM以D为旋转中心顺时针旋转120度，使BD与CD重合得到△DBM′
∵∠BDC=120°BD=CD，∴∠BCD=∠CBD=30°
∴∠DBM=∠DCN=30°+60°=90°
∴∠DBM′+∠DCM=180°。N、C、M′在一条直线上。DNM′是三角形
∠NDM′=∠NDC+∠CDM′=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠NDM=60°=∠NDM
∴在△NDM和△NDM′中，
DM=DM′,
∠NDM=∠NDM′,
DN=DN
∴△NDM≌△NDM′
∴NM=NM′
∴△AMN周长为AM+AN+NM=AM+AN+NM′=AM+AN+CN+BM=AB+AC=2

收起

°
∴∠DBM=∠DCN=30°+60°=90°
∴∠DBM′+∠DCM=180°。N、C、M′在一条直线上。DNM′是三角形
∠NDM′=∠NDC+∠CDM′=∠NDC+∠BDM=∠BDC-∠NDM=60°=∠NDM
∴在△NDM和△NDM′中，
DM=DM′,
∠NDM=∠NDM′,
DN=DN
∴△NDM≌△NDM′
∴NM=NM′

证：延长MB至E使BE=NC，连接DE
∵等边三角形ABC中
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵△DBC中，DB=DC，∠BDC=120°
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABD=∠ACD=90°
∴∠EBD=∠NCD=90°
在△EBD与△NCD中
BD=ND
∠EBD=∠NCD
BE=CN

全部展开

证：延长MB至E使BE=NC，连接DE
∵等边三角形ABC中
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵△DBC中，DB=DC，∠BDC=120°
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABD=∠ACD=90°
∴∠EBD=∠NCD=90°
在△EBD与△NCD中
BD=ND
∠EBD=∠NCD
BE=CN
∴△EBD≌△NCD（SAS）
∴ED=DN，∠1=∠3
∵∠BDC=120°，∠MDN=60°
∴∠2+∠3=60°
∴∠1+∠3=60°
∴∠MDE=∠MDN=60°
在△MDE与△MDN中
MD=MD
∠MDE=∠MDN
DE=DN
∴△MDE与△MDN（SAS）
∴MN=ME=BM+BE=BM+NC
△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+BM+NC=AB+AC=2

收起

吃拿抓卡要
刷票很缺德呦