三角形ABC是直角三角形,角ACB等于90度,CD垂直于AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证FD的平方=FB*FC（2）若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗并说明理由

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/12 23:34:44

三角形ABC是直角三角形,角ACB等于90度,CD垂直于AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证FD的平方=FB*FC（2）若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗并说明理由
三角形ABC是直角三角形,角ACB等于90度,CD垂直于AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F.
(1)求证FD的平方=FB*FC
（2）若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗并说明理由

三角形ABC是直角三角形,角ACB等于90度,CD垂直于AB于D,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线交于点F.(1)求证FD的平方=FB*FC（2）若G是BC的中点,连接GD,GD与EF垂直吗并说明理由
证明：（1）∵E是Rt△ACD斜边中点,
∴DE=EA,
∴∠A=∠2,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠A,
∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1,
∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A,
∴∠FDC=∠FBD,
∵F是公共角,
∴△FBD∽△FDC．（4分）
∴ FB/FD=FD/FC．
∴FD²=FB•FC．（6分）
（2）GD⊥EF．（7分）
理由如下：
∵DG是Rt△CDB斜边上的中线,
∴DG=GC．
∴∠3=∠4．
由（1）得∠4=∠1,
∴∠3=∠1
∵∠3+∠5=90°,
∴∠5+∠1=90°．
∴DG⊥EF

证明：（1）∵E是Rt△ACD斜边中点，

∴DE=EA，

∴∠A=∠2，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠A，

∵∠FDC=∠CDB+∠1=90°+∠1，

∠FBD=∠ACB+∠A=90°+∠A，

∴∠FDC=∠FBD，

∵F是公共角，

∴△FBD∽△FDC．（4分）

∴ FB/FD=FD/FC．

∴FD²=FB•FC．（6分）

（2）GD⊥EF．（7分）

理由如下：

∵DG是Rt△CDB斜边上的中线，

∴DG=GC．

∴∠3=∠4．

由（1）得∠4=∠1，

∴∠3=∠1

∵∠3+∠5=90°，

∴∠5+∠1=90°．

∴DG⊥EF