在△ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC (1)求cosA的值 (2)若a=2√3,cosB+cosC=2√3/3,求边c.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/14 04:29:05
在△ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC (1)求cosA的值 (2)若a=2√3,cosB+cosC=2√3/3,求边c.

在△ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC (1)求cosA的值 (2)若a=2√3,cosB+cosC=2√3/3,求边c.
在△ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC
(1)求cosA的值
(2)若a=2√3,cosB+cosC=2√3/3,求边c.

在△ABC中,角A,B,C的对边是a,b,c,已知3acosA=ccosB+bcosC (1)求cosA的值 (2)若a=2√3,cosB+cosC=2√3/3,求边c.
(1)由余弦定理可知2accosB=a^2+c^2-b^2;2abcosc=a^2+b^2-c^2;
代入3acosA=ccosB+bcosC;
得cosA=1/3;
(2)∵cosA=1/3
∴sinA=2根号2/3
cosB=-cos(A+C)=-cosAcosC+sinAsinC=-1/3cosC+2根号2/3sinC ③
又已知 cosB+cosC=2根号3/3 代入 ③
cosC+根号2sinC=根号3,与cos^2C+sin^2C=1联立
解得 sinC=根号6/3
已知 a=1
正弦定理:c=asinC/sinA=根号6/3除以2根号2/3=根号3/2

(1).根据正弦定理,3cosAsinA=sinCcosB+sinBcosC=sin(C+B)=sinA,所以cosA=1/3
(2).cosB+cosC=cos(180°-A-C)+cosC=2/3cosC+2√2/3sinC=2√3/3,化简得
cosC+√2sinC=√3,在根据cos²C+sin²C=1,得到cosC=√3/3,sinC=2√3/3,
又因为a/sinA=c/sinC。最后算得c=3√2