如图,已知抛物线Y=X^2+BX+C与一条直线交与A(-1,0)C(2,3)两点,与Y轴交于点N 其顶点为D若P是该抛物线上位于直线AC上方一动点,求三角形APC最大面积（A在X负半轴,对称轴X=1）

如图,已知抛物线Y=X^2+BX+C与一条直线交与A(-1,0)C(2,3)两点,与Y轴交于点N 其顶点为D若P是该抛物线上位于直线AC上方一动点,求三角形APC最大面积（A在X负半轴,对称轴X=1）
如图,已知抛物线Y=X^2+BX+C与一条直线交与A(-1,0)C(2,3)两点,与Y轴交于点N 其顶点为D
若P是该抛物线上位于直线AC上方一动点,求三角形APC最大面积（A在X负半轴,对称轴X=1）

如图,已知抛物线Y=X^2+BX+C与一条直线交与A(-1,0)C(2,3)两点,与Y轴交于点N 其顶点为D若P是该抛物线上位于直线AC上方一动点,求三角形APC最大面积（A在X负半轴,对称轴X=1）

问：

如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1,0）,C（2,3）两点,与y轴交于点N．其

顶点为D

（1）抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M（3,m）,求使MN+MD的值最小时m的值；

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标；若不能,请说明理由；

（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值．

分析：

（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式；

（2）根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′,当M（3,m）在直线DN′上时,MN+MD的值最小；

（3）需要分类讨论：①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F（x,x+3）和②当点E在线段AC（或CA）延长线上时,点F在点E下方,则F（x,x-1）,然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标；

（4）方法一：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G,如图1．设Q（x,x+1）,则P（x,-x²+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=-x²+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=-3/2（x-1/2）²+27/8,所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；

方法二：过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G,如图2．设Q（x,x+1）,则P（x,-x²+2x+3）．根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC=-3/2（x-1/2）²+27/8,所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；

（1）由抛物线y=-x²+bx+c过点A（-1,0）及C（2,3）得,

-1-b+c=0

-4+2b+c=3     

解得,b=2,c=3     

故抛物线为y=-x²+2x+3

又设直线为y=kx+n过点A（-1,0）及C（2,3）得

-k+n=0

2k+n=3     

解得,k=1,n=1     

故直线AC为y=x+1；

（2）如图1,作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′（6,3）,由（1）得D（1,4）,

当M（3,m）在直线DN′上时,MN+MD的值最小,

（3）由（1）、（2）得D（1,4）,B（1,2）,

∵点E在直线AC上,

设E（x,x+1）,

①如图2,当点E在线段AC上时,点F在点E上方,

则F（x,x+3）,

∵F在抛物线上,

∴x+3=-x²+2x+3,

解得,x=0或x=1（舍去）

∴E（0,1）；

②当点E在线段AC（或CA）延长线上时,点F在点E下方,

则F（x,x-1）

由F在抛物线上

∴x-1=-x²+2x+3

解得x=（1-√17）/2   或x=（1+√17）/2 

∴E（（1-√17）/2,﹙3-√17﹚/2）或（﹙1+√17﹚/2 ,﹙3+√17﹚/2）

综上,满足条件的点E的坐标为（0,1）、（﹙1-√17﹚/2,﹙3-√17﹚/2）或（（1+√17）/2, ﹙3+√17﹚/2）；

（4）方法一：

如图3,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G,

设Q（x,x+1）,则P（x,-x²+2x+3）

∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）

=-x²+x+2

又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ

=1/2 PQ•AG

=1/2（-x²+x+2）×3

=-3/2（x-1/2）²+27/8 

 ∴面积的最大值为27/8．

方法二：

过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H；过点C作CG⊥x轴于点G,如图3,

设Q（x,x+1）,则P（x,-x²+2x+3）

又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC

=1/2（x+1）（-x²+2x+3）+1/2（-x²+2x+3+3）（2-x）-1/2×3×3

=-3/2 x²+3/2 x+3

=-3/2（x-1/2）²+27/8 

 ∴△APC的面积的最大值为27/8．

点评：本题考查了二次函数综合题．解答（3）题时,要对点E所在的位置进行分类讨论,以防漏解．

有疑问可以追问哦.、.、