求lim(x→0) [√(1+x^2)-1/(1-cosx)]

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 12:12:50
求lim(x→0) [√(1+x^2)-1/(1-cosx)]

求lim(x→0) [√(1+x^2)-1/(1-cosx)]
求lim(x→0) [√(1+x^2)-1/(1-cosx)]

求lim(x→0) [√(1+x^2)-1/(1-cosx)]
分子有理化:
=lim(x→0)x^2/(1-cosx)(√(1+x^2)+1) (√(1+x^2)+1趋于2:
=(1/2)lim(x→0)x^2/(1-cosx) (罗比达法则:
=(1/2)lim(x→0)2x/sinx
=1

分子等价于 x平方/2,分母也等价于x平方/2,所以极限等于1

x→0时cosx→1,1-cosx→0,1/(1-cosx)→0
x→0时,√(1+x²)→1,
原式=lim(x→0) (1-0) =1