作业帮数列(an)的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 12:27:56
数列(an)的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=?
数列(an)的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=?
数列(an)的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=?
1.数列{a‹n›}的前n项和为S‹n›,若a₁=1,a‹n+1›=3S‹n›(n≥1),则a₆=?
a₁=1；
a₂=3S₁=3a₁=3；
a₃=3S₂=3(a₁+a₂)=3(1+3)=12；
a₄=3S₃=3(a₁+a₂+a₃)=3(1+3+12)=48；
a₅=3S₄=3(a₁+a₂+a₃+a₄)=3(1+3+12+48)=192；
a₆=3S₅=3(a₁+a₂+a₃+a₄+a₅)=3(1+3+12+48+192)=768.
2.数列{a‹n›}的前n项和为S‹n›,且a₁=1,a‹n+1›=(1/3)S‹n›,n=1,2,3...；
求：⑴a₂,a₃,a₄的值及数列{a‹n›}的通项公式；⑵a₂+a₄+a₆+...+a‹2n›的值；
(1).a₁=1；
a₂=(1/3)S₁=(1/3)a₁=1/3；
a₃=(1/3)S₂=(1/3)(a₁+a₂)=(1/3)(1+1/3)=4/9；
a₄=(1/3)S₃=(1/3)(a₁+a₂+a₃)=(1/3)(1+1/3+4/9)=16/27；
当n≧2时,a‹n›=S‹n›-S‹n-1›=3a‹n+1›-3a‹n›,故得4a‹n›=3a‹n+1›；
∴a‹n+›/a‹n›=4/3,故数列{a‹n›}是一个首项a₁=1；从第二项起,是一个公比q=4/3的等比数列.
故其通项公式为:a₁=1；当n≧2时,a‹n›=(1/3)(4/3)ⁿ⁻²=(3/16)(4/3)ⁿ(n=2,3,4,.)
(2).a‹2n›/a‹2₍n-1₎›=[(3/16)(4/3)²ⁿ]/[(3/16)(4/3)²ⁿ⁻²]=(4/3)²=16/9
故a₂+a₄+a₆+...+a‹2n›=(1/3)[(16/9)ⁿ-1]/(16/9-1)=(3/7)[(16/9)ⁿ-1].