作业帮如图,在直角梯形ABCD中,AB//DC,DA垂直AB,且AD=DC=1,AB=3若点P在以C为圆心,与直线BD相切的圆内运动,且向量AP=a向量AD+b向量AB,则实数a+b取值范围是
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 09:13:06
如图,在直角梯形ABCD中,AB//DC,DA垂直AB,且AD=DC=1,AB=3若点P在以C为圆心,与直线BD相切的圆内运动,且向量AP=a向量AD+b向量AB,则实数a+b取值范围是
如图,在直角梯形ABCD中,AB//DC,DA垂直AB,且AD=DC=1,AB=3若点P在以C为圆心,与直线BD相切的圆内运动,且向量AP=a向量AD+b向量AB,则实数a+b取值范围是
如图,在直角梯形ABCD中,AB//DC,DA垂直AB,且AD=DC=1,AB=3若点P在以C为圆心,与直线BD相切的圆内运动,且向量AP=a向量AD+b向量AB,则实数a+b取值范围是
以点A为原点,AB和AD分别为x,y轴建立直角坐标系
则B,C,D坐标分别为(3,0),(1,1),(0,3)
|BD|=√(1+9)=√10,设C到BD的高为h
则有△DCB面积求法可知h|BD|=|CD|·|AD|
∴h=1/√10,∴P在圆(x-1)²+(y-1)²=1/10
又向量AP=a向量AD+b向量AB
∴点P的坐标为(3b,a),∵点P在圆内
∴(3b-1)²+(a-1)²
BD=√(AB²+AD²)=√(3²+1²)=√10，则圆C的半径 r=DC*AD/BD=1*1/√10=√10/10； 以A为原点、AB为 x 轴建立直角坐标系，则坐标B(3,0)、D(0,1)、C(1,1)； 圆C的方程：(x-1)²+(y-1)²=1/10； 设P点坐标为(x,y)，则向量 AP=a*向量AD+b*向量AB=aj+3bi=xi+yj，其中 x=3b，y=a； a+b=y+(x/3)，当直线 y+(x/3)=a+b 与圆C相切时，a+b 取得最大和最小值； 将 x=3(a+b-y) 代入圆C方程：(x-1)²+[3(a+b)-3x-1]²=1/10； 化简 10x²-[18(a+b)-4]x+(9/10)+[3(a+b)-1]²=0； 当：[18(a+b)-4]²-4*10*{(9/10)+[3(a+b)-1]}²=0 时，对应 a+b 的极值； 化简上式：-9(a+b)²+42(a+b)-19=0； 解得 a+b=(7-√30)/3，或 a+b=(7+√30)/3； 即 a+b∈[(7-√30)/3,(7+√30)/3]；