已知方程4X²+kx+2=0的两根是sinθ,cosθ,求k和θ.

已知方程4X²+kx+2=0的两根是sinθ,cosθ,求k和θ.
已知方程4X²+kx+2=0的两根是sinθ,cosθ,求k和θ.

已知方程4X²+kx+2=0的两根是sinθ,cosθ,求k和θ.
由根与系数的关系得到
sinθ+cosθ=-k/4
sinθcosθ=1/2 这里可以知道sinθ和cosθ同号
(sinθ+cosθ)²=1+2sinθcosθ=1+1=2
所以sinθ+cosθ=±√2
当sinθ+cosθ=√2时
-k/4=√2
k=-4√2
此时sinθ=cosθ=√2/2
从而θ=π/4+2nπ,n∈Z
当sinθ+cosθ=-√2时
k=4√2
此时sinθ=cosθ=-√2/2
θ=π/4+2nπ,n∈Z

(运用韦达定理)
依题两根X1=sinθ，X2=cosθ.
则X1乘以X2=c/a=2/4,(解出θ的值)
X1+X2=-b/a(用上面解出的θ带到这个式子解出k)

sinθ+cosθ=-k/4
sinθcosθ=1/2
sin²θ+cos²θ=(sinθ+cosθ)²-2sinθcosθ=1
(-k/4)²-1=1
k=±4√2
当k=4√2时
sinθ+cosθ=-√2
√2sin(θ+π/4)=-√2
sin(θ+π/4)=-1
θ+π/4=2...

全部展开

sinθ+cosθ=-k/4
sinθcosθ=1/2
sin²θ+cos²θ=(sinθ+cosθ)²-2sinθcosθ=1
(-k/4)²-1=1
k=±4√2
当k=4√2时
sinθ+cosθ=-√2
√2sin(θ+π/4)=-√2
sin(θ+π/4)=-1
θ+π/4=2kπ+3π/2
θ=2kπ+(5π/4)
sinθcosθ=1/2
(1/2)sin2θ=1/2
sin2θ=1
2θ=2kπ+π/2
θ=kπ+π/4
θ=2kπ+3π/4
当k=-4√2时
sinθ+cosθ=√2
√2sin(θ+π/4)=√2
sin(θ+π/4)=1
θ+π/4=2kπ+π/2
θ=2kπ+(π/4)
sinθcosθ=1/2
(1/2)sin2θ=1/2
sin2θ=1
2θ=2kπ+π/2
θ=kπ+π/4
θ=2kπ+π/4
综上两种可能性,θ=kπ+π/4

收起

根据方程的两根关系得
sinθ+cosθ= -k/4 平方得 1+2sinθcosθ=k^2/16
sinθcosθ= 2/4=1/2 由上面得1+2*1/2=k^2/16,k^2=32
k=(+/-)4根号2
sinθcosθ=1/2
1/2sin2θ=1/2
sin2θ=1
2θ=2kPai+Pai/2
θ=kPai+Pai/4
k=0时，θ=Pai/4