作业帮函数y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 18:42:45
函数y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值?
函数y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值?
函数y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值?
y=sinx+cosx+sinxcosx
=sinx+cosx+[(sinx+cosx)^2-1]/2
令t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)∈[-√2,√2]
则y=t+(t^2-1)/2=(t+1)^2/2-1
因为t∈[-√2,√2]
所以-1≤y≤(√2+1)^2/2-1=√2+1/2
所以最大值是√2+1/2
如果不懂,请Hi我,祝学习愉快!
化简可得
y=1/sqrt(2)*sin(x+pi/4)+1/2*sin(2x)
此函数的单增区间为【0，pi/4】，故当x=pi/4时，取最大值
所以，y=1/sqrt(2)+1/2
注：sqrt（2）表示根号2
令sinx+cosx=t=根号2sin（x+π/4),t属于【-根号2，根号2】，sinxcosx=（t^2-1)/2,得y=t+=（t^2-1)/2=【（t+1)^2-2】/2,t属于【-根号2，根号2】,所以y属于[-1,(1+2根号2）/2]
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令sinx+cosx=t (t的范围是【-√2，√2】，这个会求吧？）
那么t^2=(sinx+cosx)^2=(sinx)^2+(cosx)^2+2sinxcosx=1+2sinxcosx
∴sinxcosx=(t^2-1)/2
∴原函数变为y=t+(t^2-1)/2=t^2/2+t+1/2（二次函数）
变为求闭区间上二次函数的最值
对称轴是t=-1
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令sinx+cosx=t (t的范围是【-√2，√2】，这个会求吧？）
那么t^2=(sinx+cosx)^2=(sinx)^2+(cosx)^2+2sinxcosx=1+2sinxcosx
∴sinxcosx=(t^2-1)/2
∴原函数变为y=t+(t^2-1)/2=t^2/2+t+1/2（二次函数）
变为求闭区间上二次函数的最值
对称轴是t=-1
开口向上
当t=√2时，函数有最大值，最大值是1/2+√2
收起
令sinx+cosx=t，则将sinx+cosx=t平方得到sinxcosx=（t的平方-1）/2(意思是t的平方减1在除2）
则y=t+（t的平方-1）/2=【（t的平方-1）+2t】/2=（t-1）的平方/2,-根号2《t《正的根号2，
所以t=负根号2时，y取最大值=（负根号2-1）的平方/2=（3+2倍的根号2）除以2