作业帮已知函数f(x)=-x^2+2lnx(ln2≈0.7)(1)若函数g(x)=f(x)-m在区间【1/2 ,2】内有两个不同的零点,求实数m的取值范围(2)任意x∈(0,1),证明f(1-x)＜f(1+x)(3)若a≤2根号2,求函数h(x)=-f(x)-ax+3lnx的单调递增区间
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 23:09:05
已知函数f(x)=-x^2+2lnx(ln2≈0.7)(1)若函数g(x)=f(x)-m在区间【1/2 ,2】内有两个不同的零点,求实数m的取值范围(2)任意x∈(0,1),证明f(1-x)＜f(1+x)(3)若a≤2根号2,求函数h(x)=-f(x)-ax+3lnx的单调递增区间
已知函数f(x)=-x^2+2lnx(ln2≈0.7)
(1)若函数g(x)=f(x)-m在区间【1/2 ,2】内有两个不同的零点,求实数m的取值范围
(2)任意x∈(0,1),证明f(1-x)＜f(1+x)
(3)若a≤2根号2,求函数h(x)=-f(x)-ax+3lnx的单调递增区间
已知函数f(x)=-x^2+2lnx(ln2≈0.7)(1)若函数g(x)=f(x)-m在区间【1/2 ,2】内有两个不同的零点,求实数m的取值范围(2)任意x∈(0,1),证明f(1-x)＜f(1+x)(3)若a≤2根号2,求函数h(x)=-f(x)-ax+3lnx的单调递增区间
(1)
g'(x) = -2x + 2/x = 2(1 + x)(1 - x)/x = 0
x = 1 (x = -1不在定义域x > 0内,不考虑)
0 < x < 1: g'(x) > 0
x > 1: g'(x) < 0
g(x)在x = 1处取最大值g(1) = 1- m
若函数g(x)在区间[1/2 ,2]内有两个不同的零点,须g(1) >0且g(1/2)< 0且g(2) 0, m < 1
g(1/2) = -1/4 -2ln2 - m < 0, m > -1/4 - 2ln2 ≈ -1.65
g(2) = -4 + 2ln2 - m < 0, m > -4 + 2ln2 ≈ -2.6
三者结合: -1/4 - 2ln2 < m < 1
(2)
h(x) = f(1 + x) - f(1 - x) = -(1 + x)² + 2ln(1 + x) + (1 - x)² - 2ln(1- x)
= 2ln(1+ x) - 2ln(1 - x) - 4x
h'(x) = 4/(1 - x²) = 4
x∈(0,1), 0 < 1 - x² < 1, h'(x) > 0, 增函数
x ->0, h(x) ->0
x∈(0,1), h(x) > 0
f(1-x)＜f(1+x)
(3)
h(x) = x² - 2lnx - ax + 3lnx = x² - ax +lnx
h'(x) = 2x - a + 1/x = (2x² - ax + 1)/x
2x² - ax + 1 = 0的判别式∆ = (-a)² - 4*2*1 = a² - 8
(i) -2√2 ≤ a ≤ 2√2:
∆ ≤ 0,h'(x) ≥ 0, h(x)在定义域x > 0内单调递增
(ii)a < -2√2:
∆ > 0, 2x² - ax + 1 = 0的的两个根均小于0 (a < -2√2时, a ±√(a² - 8) < 0), 2x² - ax + 1 = 0为开口向上的抛物线, 在定义域x > 0内, h'(x) > 0, h(x)单调递增