f（x）定义在R上,满足：1.在x=0是连续的2.f(x+y)=f(x)+f(y) x,y∈ R ,prove f(x)=f(1)X,x∈R 求证明!

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 05:25:09

f（x）定义在R上,满足：1.在x=0是连续的2.f(x+y)=f(x)+f(y) x,y∈ R ,prove f(x)=f(1)X,x∈R 求证明!
f（x）定义在R上,满足：
1.在x=0是连续的
2.f(x+y)=f(x)+f(y) x,y∈ R ,prove f(x)=f(1)X,x∈R 求证明!

f（x）定义在R上,满足：1.在x=0是连续的2.f(x+y)=f(x)+f(y) x,y∈ R ,prove f(x)=f(1)X,x∈R 求证明!
呵呵其实这道题比较简单.
因为f(x)在R上连续,包括零点
所以
①f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x) 如此数学归纳法就有f(nx)=nf(x).就有f(n)=nf(1) （注意这里的n是整数）
② 由上面的道理可以得到f(1/nx)=(1/n)f(x) (这里n取整数来证明,你应该会的,效仿上面)
③在②中令x等于m ,就有 f(m/n)=(1/n)f(m) ,因为m是整数所以可以写成 f(m)=mf(1).
最后等量代换下就出来了把m/n看成x 因为一切R都可以写成有理数此时该式子对一切有理数成立再由连续性就知道了对于R都成立

因为
f(x+y)=f(x)+f(y) x,y∈ R
所以
[f(x+y)-f(y)]/(x+y-y)=[f(x)-0]/[x-0]
当x.y非常接近时
[f(x+y)-f(y)]/(x+y-y)=f'(x)
所以
f'(x)=[f(x)-0]/[x-0]
所以f(x)=kx,k为实数
又f(0)=2f(0)
所以f(0)=0
f(1)=f(1)
f(2)=2f(1)=2k
所以k=f(1)
所以 f(x)=f(1)X

周期函数和函数奇偶1.已知F（X）是定义在R上的奇函数,满足F（X+2）=-F（X）.当0 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=-f(x),当0 1.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)= -f(x),且在[-1,0]上递增,则（A.f(3）定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-1) 是奇函数,则f（2009）=? 已知定义在r上的偶函数f(x)满足f(x+2)f(x)=1.且f(x)>0.求证：f(x)是周期函数定义在R上的函数满足f(x)-f(x-5)=0,当-1 f（x）是定义在R上的奇函数,并且f(x)满足f(x+5)=-f(x),f(1)=a,则f(9)= 设函数fx是定义在r上的函数,满足f(x+2)=-f(x),且当0 函数奇偶性1.设f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=-f(x),又当0 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且满足1.对任意的x,y属于R,有f(x+y)=f(x)+f(y)2.当x>0时,f(x) f(x)是定义在R上的偶函数,满足f(x+2)=-1/f(x),当2 定义在R上的奇函数f（x)满足f(x+2011)=f(x),则f(2011）=? 定义在R上的函数f(x),满足f(x+1)=-f(x),且在区间[-1,0]上为递增,则（）A、f(3) 已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x）=f(2-x),求证：f(x)是周期函数已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)对任意的x,y属于R,都有f(xy)=f(x)+f(y);已知定义在R上的函数f(x)满足:(1)对任意的x,y属于R,都有f(xy)=f(x)+f(y);(2)当x>1是,f(x)>0.求证：（1）f(1)=0;(2)对任意的x属于R,都有f(1 定义在R上的函数f(x)满足f(x)={log2(1-x),x小于等于0 f(x-1)-f(x-2),x>0定义在R上的函数f(x)满足f(x)={log2(1-x),x小于等于0 f(x-1)-f(x-2),x>0则f（2009）的值为_____ f(x)定义在R上,满足(1)f(1)=1;(2)0 已知定义在R上的函数f(x)满足当x>0时,f(x)