如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=4,点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上,且AF=CG=2,BE=DH=1,点P是直线EF、GH之间任意一点,连结PE、PF、PG、PH,则△PEF和△PGH的面积和等于_______.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 13:37:20

如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=4,点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上,且AF=CG=2,BE=DH=1,点P是直线EF、GH之间任意一点,连结PE、PF、PG、PH,则△PEF和△PGH的面积和等于_______.
如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=4,点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上,且AF=CG=2,BE=DH=1,点P是直线EF、GH之间任意一点,连结PE、PF、PG、PH,则△PEF和△PGH的面积和等于_______.

如图,在矩形ABCD中,AD=5,AB=4,点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上,且AF=CG=2,BE=DH=1,点P是直线EF、GH之间任意一点,连结PE、PF、PG、PH,则△PEF和△PGH的面积和等于_______.
AF=CD,BE=DH即AE=CH
则△AEF≌△CHG,可得∠CGH=∠AFE,EF=GH.
延长GH交AD延长线于M,则由AD//BC可得∠CGH=∠GMD.
则∠GMD=∠AFE,则DE//GH.
过P做EF,GH的垂线,长度分别是h1,h2.
S△PEF+S△PGH=1/2*EF*h1+1/2*GH*h2.
由于EF//GH,2条高分别垂直EF,GH且2条高过同一点,则h1,h2共线.
又EF=GH
则S△PEF+S△PGH=1/2*EF*h1+1/2*GH*h2=1/2*EF*(h1+h2)
勾股定理可得EF=√(2^2+3^2)=√13.
d=h1+h2是EF,GH之间的距离.
过F做GH的垂线交GH于N,可知△FMN∽△HGC,
则d=FN=11/√13.
则S△PEF+S△PGH=1/2*√13*11/√13=11/2

∵p是直线EF、GH之间任意一点，所以可以设p与D重合，
∴S△PEF=1/2（FD*AE）=1/2（3*3）=9/2
S△PGH=1/2（DH*CG）=1/2（1*2）=1
∴S△PEF+S△PGH=11/2
是填空题，这样比较方便

过G作GM⊥EF，交AB于N，
∵EF‖GH
∴GM⊥GM
∴△NBG≌GCH
∴N为AB中点，NB=2
△NBG∽△NME
∴MN：EN=NB：NG
即MN：1=2：√13
所以MN=2/√13
∴MG=NG-MN=11/√13
对于任意的P点
所求的面积和=1/2×EF×（h1+h2）=1/3×√13×11/√13=11/2